数列求通项公式的常见题型与解题方法
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．
数列这一章的主要章节结构为：
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．
对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼． 题型1 已知数列前几项求通项公式 在我们的教材中，有这样的题目：
??01． 数列0,2,0,2?的通项an????2
1
n为奇数n为偶数．
2．数列?11111n,,?,?的通项an?． （?1）1?22?33?44?5n(n?1)1357n?12n?1,1?,1?,1??的通项． 1+（?1）a?n22426282(2n)23．数列1?例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
22?132?142?152?1(n?1)2?1(1),,,;an? 2345n?1
11111(2)?,,?,.an?(?1)n
1?22?33?44?5n(n?1)
例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： n(1)?1,7,?13,19,?;an?(?1)(6n?5)
7
(2)7,77,777,7777,77777,?;an?(10n?1) 9n?(3)5,0,?5,0,5,0,?5,0,?.an?5sin
2练习１:写出下面数列的一个通项公式：
31537n?2 313131?(?1)n?2(2),,,,,?.a?(1)?1,,?,,?,,?;an?n 52117173n?223456n练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表． 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内． 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （140）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ 85）88 练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有__n2-n+1_个点．
。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
（1） （2） （3） （4） （5）
（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第
2
?
2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总
数，则f(3)?_10_；f(n)?_16n(n?1)(n?2)___ （答案用n表示）.
题型2 由an与Sn的关系求通项公式 在我们的教材中，有这样的题目： １． 已知数列{an}的前n项和S1n?2(n2?n)，则an? n ． ２． 已知数列{a?1，n}的前n项和Sn?3?2n，则an? ??5n?2n?1n?2， ．3设数列?an?的前n项和为Sn，且 Sn?n2?4n?4. （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bnn?a2n，求数列?bn?的前n项和为Tn， 20. (本小题满分14分)
(1) 解：当n?1时，a1?S1?1. 当n?2时，an?Sn?Sn?1
?n2?4n?4???n?1?2?4?n?1??4?
?2n?5. 分
∵a1?1不适合上式, ∴a?1,?1,n??n2n?5,n?2. ?分
?1,n?（2）证明: ∵ba??21nn?2n??2n?5.
???2n,n?2
3
1分 ??3
??4
?? 1, ??6分 21?112n?5当n?2时，Tn??2?3???, ①
2222n11?112n?72n?5Tn?2?3?4????n?1. ② n222222当n?1时，T1?①－②得:
112112n?5Tn??2?2(3???n)?n?1 222222112n?5 ?(1?n?2)?n?1
2222n?1(n?2)， ??8分 得Tn?1?n2
这类题目主要注意sn与an之间关系的转化．即：
?S (n=1) an=?1?Sn?Sn?1 (n?2)一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式． 例如：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=(Ⅰ)求a1；a2；
(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．
1?（an-1） (n?N)． 31111(a1?1),得a1?(a1?1) ∴a1?? 又S2?(a2?1),即333211a1?a2?(a2?1),得a2?.
3411 (Ⅱ)当n>1时,an?Sn?Sn?1?(an?1)?(an?1?1),
33解: (Ⅰ)由S1? 得
an111??,所以?an?是首项?,公比为?的等比数列．
22an?12课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．
*3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn?1?an(n?N)则an? ．
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