(ⅱ)直线 AB 与 y 轴垂直， AB ? 4 ， P 为 (0, 2) 或 (0, ?2) ，适合题意。 (ⅲ)直线 AB 不与 x 轴垂直时，设 AB : y ? k 3) ， ex0 x0 ex0
令 h(x)＝lnx＋1－x ＋x(x＞1)，
ex 2x32x32
则 h'(x)＝1－－x＋x＋1＝e＋x－x－x＝(e－x)＋(x－x)＞0，
( x ?
x 2
与椭圆方程 4
? y 2 ? 1联立(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 得： 2
? 4 ? 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x ∴h(x)在(1x ，＋∞e)单调增， xex xex
∴h(x)＞h(1)＝1－2＞0．
e
∴f(x0)＞g(x0)．
kx ? ln b ?x ? 1
ln x ? b x 可化为 1 ? x? k ? 0 x2
) ??ln x ? 1 b 令 h( x
x2 ?? x
? k…………………………8 分
(3)
?1 ? 2 ln x b
1 2 ln x ?
∴ h '( x) ??
?? 1
x3
x2 ? x2 ( b ?? x
) 令?( x) ?
2 ln x ? 1
( x ? 0)
x
1 ? 2 ln
∴ ?'( x) ?? x
，令x2 ?'( x) ? 0 得： x ??
e∴?( x) 在 (0, e ) 增， e , ??)
( 减 ∴? ?( e ) ?
?( x)max 2 e
h '( ) x ?? 1 x 2(b ? 2 ln x ?1 1 ) ? x2 (b ?? 2 ) ? 0 x e
∴ h( x) 在 (0, ??) 单调递
增。
当ln x ? ? b x ?? k1 时， h( x) ? 1 ? b ? k ?
x2
x x 所以b
? 0
x1 ? ??且 x1 ? 1 时， h( x1 ) k
当 0 ? x ??1 ln x ?
e 时， h( x) ?? 1 b bx2 ?? x ? k ? ??x
? k
b 1 ∴ 0 ? x2 ? k ??
e
且 x2 ??
时， h( x2 ) ? 0
又 y ? h(x) 在 (0, ??) 的图象是不间断的， ∴ h( x) ? 0 在 ( x1 , x2 ) 有唯一解，
即对于任意
k ? 0 ，直线 y ? kx ? b 与曲线 y ? f (x) 有唯一公共点． ………………16 分
20．（1）【证明】由 Sn＋(an－Sn)q＝1，n∈N*，得： a1＝1，(1－q)Sn＋qan＝1 (i)， 所以(1－q)Sn＋1＋qan＋1＝1 (ii)， (ii)－(i)得：(1－q)an＋1＋qan＋1－qan＝0，即 an＋1＝qan，
因为 an＞0，所以an＋1＝q，n∈N*，且 q＞0，
an
结合 q 为常数，得数列{an}为等比数列．
……………………………4 分
所以 q ? 2 ， q ? N? ，
所以 3q2 ? 4q ? 4 ，即 q p ?t ? 4 ，
结合 t ， p ? N* ，得 p ? t ? N* ．
当 p ? t ? 3 时， q p ?t ? (3q 2 ? 4q) ? q 3 ? (3q 2 ? 4q)
?
? 3q ? 4) ? 0 ，（*）不成立；
q(q2
5
当 p ? t ? 1 时，（*）得 3q2 ? 4q ? q ，解得 q ? 0 3
或 q ?
（舍）；
当 p ? t ? 2 时，（*）得 3q2 ? 4q ? q2 ，解得 q ? 0 （舍）或 q ? 2 ； 综上，q ? 2 ．
……………………………10 分
② 由①得 an＝2n－1，则 bn ＝ n
＋ 1, 所以数列{bn}单调递减， 1=1+
n n
由 br，bs，bk 成等比数列，不妨设 r＜s＜k，
s ? 1
则 bs 2 2 r 1 ? k ? 1
s ? 1 2 r k k＝b b r ，即 ( s ) ??
??
r k
, 即 (
s ) ??
? 1? r k ? 1
所以 k＝ s2
(r＋1)．
2sr＋r－s2
令 2sr＝s2 即 s＝2r，得 k＝(2r)2
(r＋1)＝4r2＋4r． 所以存在无穷多组(r，2r，4r2r ＋4r)(r∈N*)符合条件． ……………………………16 分
? q n ?1 ， （2）解：①由（1）得 an
所以存在 t ? N* ，使得 3a ? 4at 是数列?an ? 中的项
?1
? 存在 t ， p ? N* ，使得 ? 4a? a
t p?1 ? 存在 t ， p ? N* ，使得 3qt ?1 ? 4qt ? q p ?1 ， 即 3q2 ? 4q ? q p ?t 3a
（*）． 因为 q ? N? ，且 q ? 1 时，（*）显然不成立，
数学 II（附加题）参考答案
21．【选做题】
21．A．解析：（1） f (?) ? ?? 1 ?
1 ?m ? =(?+1)?? m
因为 ? 2 是一个特征值，所以 f (?2) ? 0
所以 m ? 2 ．
……………………………5 分
??1 1?
（2）由（1）得： A ? ??? 2 0? ? 所以 det( A) ???1 1
2 0?
?2 ? 0
? 0 1 ?? 1 所以逆矩阵 A?1 ?? ?? ?
0
?? ?2 ? ?? ?? ? ?? 2 ? ??? ? 2 ?1 ?? ??2 ?2 ??? ??1 1 ?? 2 ??
B．解：由
?? 2 cos?得： ?2 ? 2?cos?
∴ x2 ? y 2 ? 2x ? 0 ，即 ( x ?1)2
? y 2 ? 1
∴ C (1, 0)
设点 P(cos?, 2 ? 2
cos?) ，
∴| PC (cos2 5 cos2 |?
2 ??1) ? ? (2 ? 2 cos?) ?? 6 cos?? 5 ∴当 cos? ? 1 时， PC 有最大值 4.
C．证明：因为 x＞0，所以 x3＋2 ＝ x3＋1＋1 ≥3
x3×1×1 ＝
3
3x， 3 当且仅当 x＝1，即 x＝1 时取“＝”．
因为 y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以 y2＋1≥2y， 当且仅当 y＝1 时取“＝”．
………………10 分
3 分
………………10 分
…………… 4 分
…………… 8 分 【必做题】
22．解：（1）∵直线 l 的方程为 y ? 1
x ? 1
3
令 x ? 0 ，则
y ? 1，即 Q(0,1) ∴ p 得： p ?
2 ?1 2
∴抛物线 C 的标准方程为 x2 ? 4 …………………………… 4 分
y （2）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
由 PA ? ?QA, PB ? ?QB (?, ?? R )
得： ?? x 1 ? m ? ?x1
?
x2 ? m ? ?
x2 ?? ?? x? 1? m 所以
??
x1 ?
??? 2 m ???
x2 所以?? ?? x1 ? m x2 ? m 2x1 x2 ? m (x1 ? x2 )x? ?
1 x2x1 x2
由题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB : y ? k ( x ? m)
? x 2 ? 2 py( p ? 0)2
得： x? 2 pkx ? 2 pkm ? 0 ?? y ? k (x ? m) ?? ? 0 所以 ?
x ? x ? 2 pk
? ? x1 x2 ? 2 pkm 故?? ??
2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 )
x?1 2 4 pkm ??2 pkm x pkm
? 1 2
即?? ?为定值为 1.
…………………………… 10 分
23．解：（1）
a1 ? 3? 4 ? 12, a2 ? 3 ； …………………………… 2 分
（2）
C0 (22019?n ?1) ? C1
? 22018?n ? ... ? Ck ??k ?n ? 22019 C2019?n ? ... ? C2018?n ? 21 ? 20
………………
