第五讲 不定方程
本讲概述
一次不定方程
(1)a,b是非零整数，d=(a,b)，则对每个整数c,不定方程 ax+by=c 有整数解当且仅当d|c.
(2)设a,b是非零整数，(a,b)=d, n是整数。若(x,y)=
是不定方程
的一组整数解，则次方程
的全部整数解为.t取所有整数。
注：当n=1时，（1）就是裴蜀定理。(1)和（2）都能推广到多元的形式。 （3）中国剩余定理 （孙子定理 ） 设
是k个两两互素的正整数，
，
为
任意整数，则同余式组
有唯一解
二次不定方程 （1）二次剩余
定义：p是素数，(a,p)=1.若同余方程非剩余。
性质：若p是奇素数，则p的二次剩余共有
个，它们是
。
则a叫做模p的二次剩余,否则叫做模p的二次
。其中
。
模p的两个二次剩余相乘是二次剩余。模p的二次剩余和二次非剩余相乘是二次非剩余，模p的两个二次非剩余相乘是二次剩余。 欧拉判别法：
则a是模p的二次剩余；
则a是模p的二次非剩余。
（2）沛尔(pell)方程
形如x?dy?1（d?N*，d不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设(x1,y1)为该方程的正整数解(x,y)中使x?yd最小的解，则其的全部正整数解由
221?nnx?[(x?dy)?(x?dy)]n1111?2?（n?1,2,3,?）给出. ?1?yn?[(x1?dy1)n?(x1?dy1)n]?2d?①只要有解(x1,y1)，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②xn,yn满足的关系：xn?ynd?(x1?y1d)n；?（3）勾股方程x?y?z
这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足(x,y)?1的解，此时易知x,y,z实际上两两互素. 这种x,y,z两两互素的正整数解(x,y,z)称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出x,y一奇一偶，无妨设y为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
222定理三：方程x?y?z满足(x,y)?1，2|y的全部正整数解(x,y,z)可表为
222?xn?2x1xn?1?xn?2 ，
?yn?2x1yn?1?yn?2x?a2?b2,y?2ab,z?a2?b2，其中，a,b是满足a?b?0,a,b一奇一偶，且(a,b)?1的任意
整数.
多元高次不定方程
多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次剩余来讨论一些特殊的不定方程的整数解．其它常用的解法有
⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
⑵不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； ⑶同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； ⑸无穷递推法。
例题精讲
【例1】（1）求60x-14y=18的全部整数解。
（2）求18x+30y+45z=48的全部整数解。
【例2】设a,b,c都是正整数，(a,b)=1,则当c>ab-a-b时，ax+by=1有非负整数解。
【例3】解同余方程组
【例4】能否找到2000个自然数集合S,使得（1）S中任意两数互素；（2）S中任意k（>1）个数的和为合数。
【例5】证明：有无穷多个三角数为完全平方数.（所谓三角数，就是形如
【例6】证明：方程x4n(n?1)的数，其中n为自然数.） 2?y4?z2无正整数解。
【例7】(1)若n (2)证明方程
证明不定方程
的解中，没有形如
没有整数解(x,y,z). 的数。
【例8】 求所有正整数x>1,y>1,z>1,使得
【例9】（1）证明：方程x(x?1)?1?y没有正整数解.
k（2）设k是正整数，k?2，证明：方程x(x?1)?y没有正整数解.
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