02. 行列式的定义与性质
一、完全展开式
定义2.1 n阶排列j1j2?jn
共有n!个n阶排列.
定义2.2 逆(顺)序、逆序数?(j1j2?jn)；奇排列、偶排列 顺序数为n(n?1)/2??(j1j2?jn).
例2.1 1)?(564312)?4?4?3?2?0?13，所以564312为奇排列. 2)三阶排列及其逆序数、奇偶性如下表：
j1j2j3123231312132213321?(j1j2j3)022113 (?1)?(j1j2j3)?1?1?1?1?1?1三阶行列式
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31a33?j1j2j3为3阶排列
?(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3.3)标准排列12?n为偶排列.
n?21为奇4)?(n?21)?C2n?n(n?1)/2. 所以，当n?2,3,6,7,10,11,?时，
排列；当n?4,5,8,9,12,13,?时，n?21为偶排列.
定义2.3 n阶(方阵的)行列式有完全展开式
a11a21?an1a12??a1n??j1j2?jn为n阶排列a22?a2nan2?ann?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn.
矩阵与行列式的区别
例2.2 1)下(上)三角(矩阵的)行列式
a11a21
a22O?a11a12?a1na22?a2nO??ann?an1??an2?ann?(?1)?(12?n)a11a22?ann
?a11a22?ann.2)对角(矩阵的)行列式 |diag(a1,a2,?,an)|?a1a2?an. 特别地，有
(行列式的规范性) 例2.3 次下(上)三角(矩阵的)行列式
|diag(1,1,?,1)|?1.
O
a2,n?1???an,n?1a1na2n?ann?a11?a1,n?1a21?a2,n?1??an1４
a1n?(?1)?(n?21)a1na2,n?1?an1
an1
O?(?1)n(n?1)/2a1na2,n?1?an1.
例2.4 设A?[aij]n?n的主对角元均为奇数，其他元素均为偶数，求证|A|?0.
二、基本性质
变形性质、等于零的性质
对行(列)有交错性和多重线性的函数.(——行列式n阶行列式就是n阶方阵的规范的、
的公理化定义)
abac. ?cdbd例2.6 设A,B均为四阶方阵，A?[?1,?2,?3,?4],B?[?1,?2,?3,?4]，且|A| ?1,|B|?2，求|A?B|.
例2.5
例2.7 用化三角形法计算数字行列式. 例2.8 箭形行列式三角化.
例2.9 先化为箭形行列式，再三角化：计算n阶行列式
a1?b1Dn?a2?ana1?an?a1a2?.
a2?b2??an?bn例2.10 快速“打洞”：计算n阶行列式
ab?bba??. Dn????bb?ba当n?4,a?1,b?2时，
122212122(r1?r2?r3?r4)/727221222221211221212111112ri?2r10?1007??7.
2i?200?101000?1??ai1?a1j?1,?例2.11 逐行(列)相消：计算n阶杨辉行列式|aij|n??.
?aij?ai?1,j?ai,j?1?????11111111111111111234ri?ri?10123ri?ri?10123r4?r3012313610i?4,3,20136i?4,30013141020014100014?1.
例2.12 求证奇数阶反对称(矩阵的)行列式必为零. 例2.13 计算n阶行列式
00130001
x1?1Dn??x1?2?x1?n??，
x2?1x2?2?x2?nxn?1xn?2?xn?n注意对阶数n做讨论.
５
