②证明，满足上述等式的x都不是有理数。
?n+2k???2k+1?k=0??。4． 设n?N，计算和（1968第十届IMO）
???b?1?a??a?1??b?1??a??2a?+??+???+?????bbb2??5． 设a , b为互素的正整数，求证：????。
??n???n?nmin?k2??2???1991?2?2?k???6． 求所有自然数n , 使得，这里?k?表示不超过k的最大整数，N是自
然数集。（1991年中国数学奥林匹克）
不定方程 若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。
例1．在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题)
例2．解方程：
wxyz例3．求方程2?2?2?2?20.625满足条件：w?x?y?z的整数解。
（1979年湖南省中学数学竞赛题）
线性不定方程 ax+by=c 定理1 设a,b,c?Z,(a,b)?d,a?a'd,b?b'd，则线性不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是
dc
。在有整数解的情形下，如果
x?x0，y?y0是一组整数解，那么该方程的一切整数解（简称通解）
可以写成
?x=x0+b't,t?0,?1,?2,......?y=y?a't0?
例 4 求方程7x?19y?213的整数解。
例5 今有物，不知其数（百个以下）。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几
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何？（该题目出自1600年前的《孙子算经》）
“韩信点兵”或“秦王暗点兵”的歌诀： “三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。”
注：该诀出自宋朝周密，“上元”指15，“寒食清明”指105，每年冬至至次年清明正好105天。
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。”
注：该诀出自明朝程大位《算法统宗》。
222x?0、y?0、z?0、?x,y??1，z|y的一切整数解可表示为x?y?z定理2 勾股不定方程满足
?x?a2?b2??a,b??1，a,b中一个为奇数，另一个为偶数。 ?y?2ab，这里a?b?0，?z?a2?b2?22nx?y?zn?N例6 设，证明方程有正整数解。
444x?y?z例7 证明不定方程没有正整数解。
nnnx?y?zn?2费马猜想：整数时，方程 无正整数解是数论中的一个著名的难题。1760年欧拉证
明了n = 3 的情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n = 5的情形。1840年拉梅证明n = 7的情形。库莫尔于1844年首创“理想数论”，并利用这个工具一举证明了n是小于100的奇素数但除去n=37,59,67的情形.1892年米利曼诺夫证明了n=37的情形。1978瓦格斯塔夫借助大型电子计算机证明了2 < n < 125000的情形。????29岁的讲师又对此做出了重大发展，然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。
例8 确定（并加以证明）方程a?b?c?ab所有的整数解。（1976年美国竞赛题）
例9 证明方程x?3y?9z?9xyz?0只有唯一的有理数解。
33322222a2?b2例10 正整数a与b使得ab?1整除a?b。求证是某个正整数的平方。（1988年第29届
ab?122IMO）
习题
1. 不定方程5m?6mn?7n?1987是否有整数解？
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222. 方程x?y?z?n有多少组正整数解？
3. 求方程pq?qr?rp?pqr?2的整数解（p,q,r?0）。
4. 求方程
xyxzyz???3的整数解。 zyx 19
