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第3课时 几个常用函数的导数及其公式
基础达标(水平一)
1.已知f(x)=,则f'(1)=( ). A.1 B.-1
C.3 D.-3
【解析】因为f(x)==x-3,
所以f'(x)=-3x-4
. 故f'(1)=-3. 【答案】D
2.曲线y=x3
的斜率等于1的切线的条数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.不确定
【解析】∵y'=3x2,且k=1,∴3x2
=1,解得x=±.
【答案】B
3.曲线y=ex在点(2,e2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ).
A.e2 B.2e2
C.4e2
D.
【解析】因为点(2,e2
)在曲线上,y'=ex, 所以切线的斜率k=e2
,
所以切线的方程为y-e2
=e2
(x-2),即e2
x-y-e2
=0. 又此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-e2
),(1,0),
所以三角形的面积S=×1×e2=.
【答案】D
4.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值为( ).
A. B.- C.-e D.e
【解析】因为y'=(ex)'=ex,设切点坐标为(x0,y0),所以k===所以k=e.
【答案】D
5.若曲线y=x2
的某一切线与直线y=4x+6平行,则切点坐标是 .
金戈铁骑
,得x0=1,
【解析】设切点坐标为(x0,),
因为y'=2x,所以切线的斜率k=2x0, 又切线与y=4x+6平行,
所以2x0=4,解得x0=2,故切点坐标为(2,4). 【答案】(2,4)
6.抛物线y=x上的点到直线x-y-2=0的距离的最小值为 .
【解析】由题意可知,与直线x-y-2=0平行的抛物线的切线的切点到直线x-y-2=0距离最小.
2
∴该切线斜率为1.
设切点为(x0,y0),则有y'=1=2x0,
∴x0=,∴切点为,
∴d==.
【答案】
7.求曲线y=与y=x在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.
2
【解析】联立两条曲线方程故交点坐标为(1,1).
解得
∵k1=-示.
x=1
=-1,k2=2x|x=1=2,
∴两条切线的方程分别为x+y-2=0,2x-y-1=0,与x轴所围成的图形如图(阴影部分)所
∵两条切线与x轴的交点分别为(2,0),.
金戈铁骑
∴三角形的面积S=×1×=.
拓展提升(水平二)
8.已知曲线y=x-1与曲线y=3-x在x=x0处的切线互相垂直,则x0的值为( ).
32
A. B. C. D.
【解析】由导数的定义得,曲线y=x-1在x=x0处的切线斜率k1=3在x=x0处的切线斜率为k2=-x0.∵两条曲线在x=x0处的切线互相垂
3
,曲线y=3-x2
直,∴3·(-x0)=-1,∴x0=.故选D.
【答案】D 9.若曲线y=( ).
A.4 B.-4
C.2 D.-2 在点P(a,
)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是
【解析】y'=,∴切线方程为y-=(x-a).令x=0,得y=,令y=0,
得x=-a.由题意知
【答案】A
××a=2,∴a=4.
10.函数y=x(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N,若
2*a1=16,则a1+a3+a5= .
【解析】∵y'=2x,∴在点(ak,
)处的切线方程为y-=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),∴ak+1=ak,即数列{ak}是首项a1=16,公比q=的等比数
列,∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
【答案】21
11.已知两条曲线y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.
【解析】不存在.理由如下:
设y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为P(x0,y0).
金戈铁骑
则两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为
k1=y1'k2=y2'=cos x0, =-sin x0,
若使两条切线互相垂直,必须有 cos x0·(-sin x0)=-1, 即sin x0·cos x0=1, 即sin 2x0=2,这是不可能的,
∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.
金戈铁骑
