12BC?CO?sin?ACB?12?2?22?32=34。
【考点】旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
7. （2008年江苏徐州10分）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕点．．．．DEF．．．．．E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ．．．【探究一】在旋转过程中， （1）如图2，当（2）如图3，当
CEEACEEA＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.
＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.
CEEA（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当＝m时，EP与EQ满足的数量关系
式为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明) 【探究二】若
CEEA＝2，AC＝30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中：
2
（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
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探究二：（1）存在。
设EQ=x，则S?14x。
33=103时，面积最大，是75cm；
22=102，面积最小，是2
2∴当EQ=EF=DE?tan300=30? 当EQ⊥BC，即EQ=EC?sin450=20?50cm2。
（2）当x=EB=510时，S=62.5cm2，
∴当50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个； 当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有1个。
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过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，
∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°， ∴∠EPB+∠EQB=180°（四边形的内角和是
360°）。
又∵∠EPB+∠MPE=180°（平角是180°）， ∴∠MPE=∠EQN（等量代换）。 ∴Rt△MEP∽Rt△NEQ。∴
EPEQ?MEEN。
ENME又∵Rt△AME∽Rt△ENC，∴
CEEA?m?。
∴EP与EQ满足的数量关系式为EQ?mEP。 当点E与点C重合时，m=0，EQ=0，
EQ?mEP成立。
当点Q与点F重合时，如图，是EQ最大的情形。 设PE=k，则EQ=km，EA=2k，CE=2km， AC=2k+2km?2k?1?m?。
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8. （2009年江苏省10分）（1）观察与发现：
小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．
【答案】解：（1）同意。理由如下：
如图，设AD与EF交于点G。
由折叠知，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 又由折叠知，∠AGE=∠DGE=900， ∴∠AGE=∠DGF=900。 ∴∠AEF=∠AFE。
∴AE=AF，即△AEF为等腰三角形。
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