介质中的极化强度为
(2)两介质接触面上的电位为
7,如图所示,一平行板电容器两极板相距为d,面积为S,电位差为U,其中放有一层厚为t的介质,介电常数为ε,介质两边都是空气,略去边缘效应,求: 介质中的电场强度E,电位移D和极化强度P; 极板上的电荷量Q;
极板和介质间隙中的场强E; 电容.
解:(1)由介质中的高斯定理得 D0=D=σ
介质中的极化强度为 (2)极板上的电荷量为 (3)各区域的电场强度为 (4)电容为
8,平行板电容器两极板相距3.0cm,其间放有一层ε=2.0的介质,位置和厚度如图所示,已知极板上面电荷密度为σ=8.9×10-10C/m2,略去边缘效应,求: 极板间各处的P,E和D;
极板间各处的电位(设UA=0); 画E-x,D-x,U-x曲线;
已知极板面积为0.11 m2,求电容C,并与不加介质时的电容C0比较. 答:(1)由介质中的高斯定理可得
(2)以A板电位为零,各点的电位为
(3)E-x,D-x,U-x曲线分别为
(4)电容为=30μμF
与真空时的电容相比较 C/C0=1.2
9,两块平行导体板带有同号电荷,面密度分别为σ1=3.3×10-10C/m2,σ2=6.6×10-10C/m2,两板相距为1.0cm.在其间平行地放有一块厚为5.0mm的均匀石腊板,ε=2.0.略去边缘效应,求: 石腊内的E内;
极板间石腊外的E外; 两极板的电位差;
石腊表面的极化面电荷密度σ`.
解:(1)两导体板所带电荷同号,由高斯定理及电荷守恒定律可知
但考察两金属板之间的电场时,可以将每一金属板上的电荷看作整体. (3)电位差
(4)石腊表面的极化面电荷密度σ`为
10,平行板电容器的极板面积为S,间距为d,其间充满介质,介质的介电常数是变化的,在一极板处为ε1,在另一极板处为ε2,其他处的介电常数与到ε1处成线性关系.略去边缘效应,求:
电容器的电容;
当两极板上的电荷分别为Q和-Q时,求介质内的极化电荷体密度和表面上的极化电荷面密度. 解:(1)介电常数的函数关系为 在导体内任一点 两极板之间的电位差 电容器的电容 (2)极化强度为
极化电荷的体密度为 极化电荷的面密度为
11,一云母电容器是由10张铝箔和9片云母相间平行迭放而成,奇数铝箔接在一起作为一极,偶数铝箔接在一起作为另一极,如图所示.每张铝箔和每片云母的面积都是2.5cm2,每片云母的相对介电常数ε都是7.0,厚度都是0.15mm.略去边缘效应,求电容C. 解:可以看作九个电容器并联而成
12,一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两部分介质,介电常数为ε1的介质所占面积为S1,介电常数为ε2的介质所占面积为S2.略去边缘效应,求电容C. 解:两个电容器并联而成
13,如图所示,一平行板电容器两极板的面积都是S,相距为d.今在其间平行地插入厚度为t,介电常数为ε的均匀介质,其面积为S/2.设两板分别带电荷Q和-Q.略去边缘效应,求: 两极板电位差U; 电容C;
介质的极化电荷面密度.
解:(1)设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ1,另一侧为σ2
(2)电容器的电容为 (3)极化电荷面密度为
14,一平行板电容器两极板的面积都是2.0m2,相距为5.0mm.当两极板之间是空气时,加上一万伏的电压后,取去电源,再在其间插入两平行介质层,一层厚2.0mm,ε1=5.0;另一层厚3.0mm,ε2=2.0.略去边缘效应,求: 介质内的E和D; 两极板的电位差; 电容C.
解: C0=ε0S/d Q=C0U 电源断开后,Q保持不变 D1=D2=Q/S=1.78×10-5(C/m2) (1)E0=U/d E1=E0/ε1 =4×105(V/m) E2=E0/ε2 =1×106(V/m) (2)U=E1d+E2d=3800V (3)C=Q/U=9.4×10-9F
15,同心球形电容器内外半径分别为R1和R2,两球间充满介电常数为ε的均匀介质,内球的电荷量为Q.求:
电容器内各处的电场强度E的分布和电位差U; 介质表面的极化电荷面密度;
电容C(它是真空时电容的多少倍 )
解:(1)由对称性和高斯定理得,介质内的电场强度为
两极板之间的电位差为
(2)介质的极化强度为
介质的内外两表面上极化电荷的面密度分别为
16,在半径为R的金属球外有一层半径为Rˊ的均匀介质层(如图所示).设电介质的介电常数为ε,金属球带电量为Q,求: 介质层内外的场强分布; 介质层内外的电位分布; 金属球的电位.
解:(1)由对称性及高斯定理可求得场强分布为
(2)电位分布为
(3)金属球的电位为
17,一半径为R的导体球带电荷Q,处在介电常数为ε的无限大均匀介质中.求: 介质中的电场强度E,电位移D和极化强度P的分布; 极化电荷面密度.
解:(1)由介质中的高斯定理可求得: 电位移为 电场强度为 极化强度为
(2)极化电荷面密度为
18,半径为R,介电常数为ε的均匀介质球中心放有点电荷Q,球外是空气. 求球内外的电场强度E和电位U的分布;
如果要使球外的电场强度为零且球内的电场强度不变,则球面上需要有面密度为多少的电荷 解: (1)由高斯定理可求得场强分布为 电位的分布为
(2)要使E外=0而E内保持不变,应使球面上Q′=-Q 电荷的面密度应为
19,一半径为R的导体球带电荷Q,球外有一层同心球壳的均匀电介质,其内外半径分别为a和b,介电常数为ε.求:
介质内外的电场强度E和电位移D;
介质内的极化强度P和表面上的极化电荷面密度; 介质内的极化电荷体密度为多少 解: (1)由介质中的高斯定理可得 (2)介质内的极化强度P为 介质表面的极化电荷面密度为
(3)均匀电介质,介质内极化电荷体密度为0.
20,球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为R2,其间有两层均匀介质,分界面的半径为r,介电常数分别为ε1和ε2. 求电容C;
当内球带电-Q时,求介质表面上的极化电荷的面密度. 解: (1)由介质中的高斯定理可得 电位差为
电容为
(2)当内球带电为-Q时,各介质表面的极化电荷面密度分别为
21,球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成.壳的内半径为R2,其间有一层均匀介质球壳,内外半径分别为a和b,介电常数为ε. 求电容C;
当内球带电量为Q时,介质表面上的极化电荷面密度. 解: (1)由介质中的高斯定理可得 电位差为 电容为
(2)当内球带电为Q时,各介质表面的极化电荷面密度分别为
22,球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成.壳的内半径为R2,其间一半充满介电常数为ε的均匀介质.求电容C.
解:将球形电容器看成是两个半球形电容器并联而成,其中一个是空气,另一个是介质.
可以证明:
此时电容器的电容等于两壳间充满介电常数为的均匀介质的电容.
23,圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成.圆筒的内半径为R2,长为l,其间充满了介电常数为ε的介质(如图所示).设沿轴线单位长度上,导线的电荷为λ0,圆筒的电荷为-λ0,略去边缘效应.求:
介质中的电场强度E,电位移D和极化强度P; 两极的电位差U;
介质表面的极化电荷面密度;
电容C(它是真空时电容的多少倍 ) 解:(1)应用介质中的高斯定理可得 (2)两极间的电位差为
(3)介质表面的极化电荷面密度为
(4)电容器的电容为
24,圆柱形电容器是由半径为a的导线和与它同轴的导体圆筒构成.圆筒的内半径为b,长为l,其间充满了两层同轴圆筒形的均匀介质,分界面的半径为r,介电常数分别为ε1和ε2(如图所示).略去边缘效应,求电容C.
解;由高斯定理可求得场强分布为
两极间的电位差为 电容C为
25,一长直导线半径为1.5cm,外面套有内半径为3.0cm的导体圆筒,两者共轴.当两者电位差为5000V时,何处的电场强度最大 其值是多少 与其间介质有无关系 ] 解:电场强度分布为
导线与导体圆筒之间的电位差为 即
在r=R1处,电场强度达到最大,Emax=4.8×105(V/m) 与介质无关
