处的速度大小v = [2k(1/x – 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v = dx/dt，可得
kd2xf??2?ma?m2xdt
d2xdvdxdvdv???vdt2dtdtdxdx，
因此方程变为
mvdv??积分得
kdxx2，
12kmv??Cx 2．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
12kkmv??2xx0，
v?即
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
2k11(?)mxx0． 证毕．
12dxmv??k?xn．
如果f(x) = -k/xn，则得212mv??klnx?C（1）当n = 1时，可得2
x12mv?kln0x， 利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 22kx0lnmx． 即
12k1?nk1?nmv??x?CC??x021?nn?1（2）如果n≠1，可得．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，
12k11mv?(n?1?n?1)n?1xx0， 因此 2v?v?2k11(n?1?n?1)(n?1)mxx0． 当n = 2时，即证明了本题的结果．
即
2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
f??mg?kv?m
dvdt，
dt??m分离变数得
dvmd(mg?kv)??mg?kvkmg?kv，
mln(mg?kv)?Ck积分得．
mC?ln(mg?kv0)k当t = 0时，v = v0，所以，
mmg?kvmmg/k?vt??ln??lnkmg?kv0kmg/k?v0， 因此
t??小球速率随时间的变化关系为
v?(v0?mgktmg)exp(?)?kmk．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
T?kvmmg/k?v0mln?ln(1?0)kmg/kkmg．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤： 由于v = dx/dt，所以
dx?[(v0?即
mgktmg)exp(?)?]dtkmk，
dx??m(v0?mg/k)ktmgdexp(?)?dtkmk，
积分得
x??m(v0?mg/k)ktmgexp(?)?t?C`kmk， C`?m(v0?mg/k)k，
当t = 0时，x = 0，所以
因此
x?m(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?tkmk．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
f?mg?kv?mdvdt，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
v?mgmgkt?(?v0)exp(?)kkm．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm =
mg/k．
2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因子为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 A v0 2
N = mv/R．
R
图2.10
物体所受的摩擦力为f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得
v2dv?kdvf???km?mdt??2Rdt， 即 ： Rv．
?k1t??Cv积分得：R．
1C??v0， 当t = 0时，v = v0，所以
?k因此 R由于
t?v011?v?vv0．解得 1??kv0t/R．
dx?v0dtRd(1??kv0t/R)?1??kv0t/R?k1??kv0t/R， x?Rln(1?积分得
?kv0tR?k)?C`，
?kR． 当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此
2．11 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
ω [解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为
珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ． 根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
θ R 可得
r m mgcos?解得
x?Rln(1??kv0t)?R?2，
???arccosgR?2．
mg 图2.11
(二)力学中的守恒定律
2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．
根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为 F m I??π/2?0(?kAcos?t)dtπ/2?，
??
kA?sin?t0??kAO x 图2.12 x ?
方法二：利用动量定理．
小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的品质为m，其初动量为p1 = mv1 = 0， 末动量为p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA， 可以证明k =mω2，因此I = -kA/ω．
2．13一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
Δp p1 [解答]小球动量的大小为p = mv，
p2 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
p1 ?????? ?p?p2?p1得：p2?p1??p，
m
R 由此可作向量三角形，可得：?p?2p?2mv． 因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．
2
[注意]质点向心力大小为F = mv/R，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
v2TI?Ft?mR4
2?R/TT??mv?mvR42．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv， 其分量大小分别为 y Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fx m Fy = Fsinθ = Fsinωt，
给小球的冲量大小为 F Fy dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
O dIy = Fydt = Fsinωtdt， R x 积分得 Ix??T/40Fcos?tdt??mvFT/4?sin?t0
?F?，
Iy???FT/40Fsin?tdt??FT/4?cos?t0
??mv，
合冲量为
，
与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2．14 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为
2I?Ix2?Iy?2mvvy?2gh= 14(m·s-1)，
vy
Δv
vx
