12x?y}2 (其他商品上的开支设它是用货币度量的,所以价格标准化为1)
s.tpxx?y?mmax{x??MUx1?xpx??x?1?px?MU?1?1解联立方程组?得： ? y2y?m?p?p?xx??px?y?m?x1)
x的市场需求函数是单个需求函数的横向加总：
X?100x?100(1?px) 2}销售收入用R表示，最大化销售收入就是：
R?100?(p1xpx ) max
dR?100(?1p2x?)dpx0?px?1 2 这时需求弹性是：?x?pxdXpx??(?100)??1
Xdpx100(1?px)2.证明所有消费品的收入弹性的加权平均为1，权重为每个消费品的开支比例。 (证明两种商品不可能同时为奢侈品)
Proof：无论任何价格，收入下，我们都有预算约束式?pixi?m成立，对预算约束是两边对收入m求导得：
i?1ni?1?pin?xi?1??????(1) ?m?ximxi?xpxm?x???pi?i?ii??i?si?i????????????（2） ?mmxi?mmxi?m而：pi其中，si，?i分别表示商品I的开支比例和收入弹性。 所以把（2）代入（1）有：?si?i?1，即得证。
i?1n（北大1997）
下面哪些生产函数具有规模报酬不变的特性：
(1)y?2min?x1,x2?;(2)y?x1?x2;(3)y?x1x2;(4)y?(1?x1?x2)2;
3 （1）f??x1,?x2??2min??x1,?x2???f?x1,x2? 具有规模报酬不变特征 (2) f??x1,?x2???x1??x2??f?x1,x2? 不具有规模报酬不变特征。 (3) 不具有规模报酬不变特征 (4) 不具有规模报酬不变特征 （北大1998）
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三 1 非齐次函数
2一次齐次函数，规模报酬不变 3齐次函数，规模报酬递减。 (北大1996)
4正确
如果生产函数具有规模报酬不变的特征，那么必然有 f?tx??tf?x?,x?(x1,...xn)T......(1)
对（1）式两边关于xi(i?1,2...n)求偏导，可得fi??tx??tfi??x?,i?1,2,...n......(2)
MPifi??x?设Q?f(x1,...xn)，则在产量Q上的边际替代率为MRTSij(x)??......(3) MPjfj??x?11212设Q?tQ，则Q?tf(x1,...xn)?f(tx1,...txn)，故在产量Q上的边际替代率为：
2MRTSij(tx)?MPifi??tx?tfi??x???......(4) MPjfj??tx?tfj??x?将（2）式代入（4）式，可得MRTSij(tx)?MRTSij(x)
即生产函数的边际替代率不变 （2001上财）四、计算题
假设利润为总收益减总成本后的差额，总收益为产量和产品价格的乘积，某产品总成本（单位：万元）的变化率即边际成本是产量（单位：万台）的函数C′=4+Q/4，总收益的变化率也是产量的函数R′=9－Q，试求： １.产量由1万台增加到5万台时，总成本与总收入各增加多少？ ２.产量为多少时利润极大？ ３.已知固定成本FC=1（万元），产量为18时总收益为零，则总成本和总利润函数如何？最大利润为多少？ 四、计算题 【解析】
1．MC=4+Q/4?TC=4Q+Q2/8+c（c为常数）?ΔTC=19 MR=9-Q?TR=9Q－Q2/2+d（d为常数）?ΔTR=24 2．因为：利润最大时MR=MC
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所以有：9-Q=4+Q/4?Q=4（万台）
3．FC=1且TC=4Q+Q2/8+c?TC=4Q+Q2/8+1 将Q=18时TR=0代入TR=9Q－Q2/2+d得：d=0 因此有：TR=9Q－Q2/2
把Q=4代入得最大利润为π=TR-TC=5Q-5Q2/8-1=9（万元） 所以最大利润为9万元。 一、求条件要素需求和成本函数 1．y?min(x1,2x2)
aby?x?x122．
一、求条件要素需求和成本函数 1．y?min(x1,2x2) 解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)s.tmin(x1,2x2)?y
x1(w1,w2,y)?y显然，成本最小化要求x1?2x2?y，所以条件要素需求函数是：成本函数是：C(w1,w2,y)?(w1?aby?x?x122．
y
x2(w1,w2,y)?2w2)y 2解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)bs.tx1a?x2?y
b?MPax1a?1x2ax2w11????ab?1bx1w2， 最优条件：?MP2bx2x2?xa?xb?y?121aw2abx1(w1,w2,y)?()?b?ya?bbw1解得：
x2(w1,w2,y)?(bw1)aw2aa?b?y1a?b
b1w1aaw成本函数是：C(w1,w2,y)?(a?b)?()?b?(2)a?b?ya?b
ab
(2008上财)三﹑计算下列各题 每题15分（共90分） 1.假设生产函数为f(x1,x2)=x1+产品的价格为p ，生产 要素1和2的价格分别为w1和x2。w2。
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⑴ 求要素需求函数和产出供给函数； ⑵ 求条件要素需求函数；
⑶ 要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什么关系？ 1．【解析】本题考察的是利润最大化要素需求函数的计算，以及如何根据生产函数计算出产品供给函数，并辨别要素需求函数与有条件的要素需求函数。 （1） 求要素需求函数：
要素需求函数为P·MP=ω，根据题中已知生产函数f(x1,x2)=要素1的需求函数：由MP1=1/2·x1-1/2得1/2p x1-1/2=ω1
同理要素2的需求函数：由MP2=1/2·x2-1/2，得 1/2p x2-1/2=ω2； 求产出供给函数： 生产函数y=f(x1,x2)=x1+x2
x1+x2
①
企业利润π=pf(x1,x2)-ω1 x1-ω2 x2
利润最大化时有MP1/ MP2=ω1/ω2→
x1-1/2/ x2-1/2=ω1/ω2→x2= x1ω12/ω22 ，带入①解出
x1=ω22y2/(ω1+ω2) 2 ②
x2=ω12y2/(ω1+ω2) 2 ③
从而总成本函数C=ω1 x1+ω2 x2，带入x1，x2得C=ω1ω2 y2/(ω1+ω2)
产出供给曲线为边际成本曲线在可变成本曲线以上的部分，产出供给函数为P= MC，由总成本函数得边际成本函数MC=2ω1ω2 y/(ω1+ω2)
所以产出供给函数为：P=2ω1ω2 y/(ω1+ω2)
（2）使厂商的生产成本最小的要素选择取决于要素的价格和厂商计划的产出量，有条件的要素需求函数或派生的要素需求度量的是，在厂商生产某个既定产量y的条件下，价格、产量以及厂商的最优要素选择之间的关系，我们把这种要素选择记为x1(ω1，ω2，y)， x2(ω1，ω2，y)。 所以②，③便是要素x1 ，x2的条件要素需求函数。
（3）条件要素需求函数与要素需求函数区别：有条件的要素需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小化选择；实现利润最大化的要素需求则给出了既定产出品价格下的利润最大化选择。通常有条件的要素需求曲线是观察不到的，它们是一个假设的定义。它回答的是这样一个问题：如果厂商想以经济的方式生产某个既定的产量，他们将如何选择每种要素的使用量。 一、求条件要素需求和成本函数 1．2．
y?min(x1,2x2)
aby?x1?x2
2、求条件要素需求和成本函数 （1）y?min(x1,2x2) 解：成本最小化的问题是：
min(w1x1?w2x2)s.tmin(x1,2x2)?y
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