5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA=OC，则a的取值范围是（ ） A．0＜a＜
B．＜a＜
C．
D．＜a＜1
【解析】∵OA=OC，A（m，0）， ∴C（0，m），即c=m，
则抛物线解析式为y=ax2+bx+m， 根据题意知抛物线对称轴x=﹣
=
，
可得b=﹣am﹣an ①，
将点A（m，0）代入y=ax2+bx+m，得：am2+bm+m=0，即am+b+1=0， ∴b=﹣am﹣1 ②，
由①、②可得﹣am﹣1=﹣am﹣an， 即an=1，a=， ∵4＜n＜5， ∴＜a＜，
故选：B．
6．如图，等腰△ABC内接于圆O，底边AB是直径，E为AC的中点，点D在BC上，且CD=3BD，AD与BE相交于点F，则∠AFE的正切值为（ ）
A．
B． C．
D．
【解析】作EH⊥AD于H，EG∥AD交BC于G，如图，设BD=a，则CD=3a， ∴CA=CB=4a， ∵E为AC的中点， ∴AE=CE=2a， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ACD中，AD=在Rt△BCE中，BE=∵∠EAH=∠DAC，
∴Rt△AEH≌Rt△ADC，
第9页（共25页）
=5a， =2
a，
∴=，即=，解得EH=a，
∵EG∥AD，
∴CG：DG=CE：AE=1：1， ∴CG=DG=a， ∵DF∥EG， ∴
=
=
=，
∴EF=BE=∴HF=
a，
=
a，
∴tan∠EFH=故选：B．
==．
7．（2015?黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（ ） A．﹣2＜a＜2
B．
C．
D．
【解析】∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2
（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2， 若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件， 若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去， （2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，
①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去． 所以﹣＜a≤符合条件， ②若方程有两个正根，则 解可得 a＞，
综上可得，﹣＜a≤2．
第10页（共25页）
，
故选：C．
8．如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=R，圆O1与AO，BO和弧AB都相切；圆O2和圆O1，AO，BO都相切；圆O3和圆O2；AO，BO都相切；则圆O3的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如图所示：连接各切线与对应圆的圆心．
∵OA、OB是⊙O1的切线， ∴∠AOO1=∠BOO1=30°． ∵圆O1与AO相切， ∴∠OCO1=90°． ∴OO1=2O1C． ∴OA=3r11． ∴r1=．
∴OE=O1E=r1=． 同理：可知：r2=∴r3=
．
=
．
，r3=
．
由圆的面积公式可知圆O3的面积=
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）
9．已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范
第11页（共25页）
围是 ≤M≤6 ．
【解析】由x2+xy+y2﹣2=0得：x2+2xy+y2﹣2﹣xy=0， 即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥﹣2；
由x2+xy+y2﹣2=0得：x2﹣2xy+y2﹣2+3xy=0， 即（x﹣y）2=2﹣3xy≥0，所以xy≤， ∴﹣2≤xy≤，
∴不等式两边同时乘以﹣2得：
（﹣2）×（﹣2）≥﹣2xy≥×（﹣2），即﹣≤﹣2xy≤4， 两边同时加上2得：﹣+2≤2﹣2xy≤4+2，即≤2﹣2xy≤6， ∵x2+xy+y2﹣2=0，∴x2+y2=2﹣xy， ∴M=x2﹣xy+y2=2﹣2xy， 则M的取值范围是≤M≤6． 故答案为：≤M≤6
10．如图，一次函数y=x+1的图象交x轴于点E、交反比例函数
的图象于
点F（点F在第一象限），过线段EF上异于E、F的动点A作x轴的平行线交的图象于点B，过点A、B作x轴的垂线段，垂足分别是点D、C，则矩形ABCD的面积最大值为
．
【解析】设A（a，a+1），则B（∴AB=
﹣a，AD=a+1，
，a+1），
∴S矩形ABCD=（a+1）（﹣a）=2﹣a（a+1）=﹣（a+）2+，
第12页（共25页）
