《数学选修2-2》推理与证明
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)
1、 下列表述正确的是( ).
①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 3、在△ABC中,sinAsinC?cosAcosC,则△ABC一定是( ) Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 4、下面使用类比推理正确的是 ( )
Ｄ.不确定
A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类推出:向量a,b,c,若a//b,b//c,则a//c
B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.
C.实数a,b,若方程x2?ax?b?0有实数根,则a2?4b.类推出:复数a,b,若方程
x?ax?b?0有实数根,则a?4b.
22D.以点(0,0)为圆心,r为半径的圆的方程为x2?y2?r2.类推出:以点(0,0,0)为球心,r为半径的球的方程为x2?y2?z2?r2.
5、(1)已知p3?q3?2,求证p?q≤2,用反证法证明时,可假设p?q≥2;(2)已知
a，b?R,a?b?1,求证方程x2?ax?b?0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假
设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设x1≥1,以下结论正确的是( )
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确,(2)的假设错误 D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:1?Ａ.1?Ｃ.1?1222122?3212,1???1212?132?53,1?122?132?142?74,?,则可归纳出式子为( )
1??????1nn2??1332??????nn2n?12n?1n(n≥2)(n≥2)Ｂ.1?
Ｄ.1?
1222??332??12n?12n2n?112(n≥2)(n≥2)
1212121212127、已知扇形的弧长为l,所在圆的半径为r,类比三角形的面积公式:S?扇形的面积公式为( )
?底?高,可得
Ａ.
12r2 Ｂ.l2
21Ｃ.rl
21Ｄ.不可类比
8、定义A?B,B?C,C?D,D?A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )
(1) (2) (3) (4) (A) (B)
A.B?D,A?D B.B?D,A?C C.B?C,A?D D.C?D,A?D 9、观察下列各式:1?12,2?3?4?32,3?4?5?6?7?52,4?5?6?7?8?9?10?72,?,可以得出的一般结论是( )
A.n?(n?1)?(n?2)???(3n?2)?n2 B.n?(n?1)?(n?2)???(3n?2)?(2n?1)2 C.n?(n?1)?(n?2)???(3n?1)?n2 D.n?(n?1)?(n?2)???(3n?1)?(2n?1)2
10、用数学归纳法证明(n?1)(n?2)?(n?n)?2n·1·3·?·(2n?1),从k到k?1,左边需要增乘的代数式为( )
A.2(2k?1) B.2k?1
C.
2k?1k?1 D.
2k?3k?1
11、正整数按下表的规律排列
1 4 9
2 3 8
5 6 7
10 11 12 13 22 17 18 19 20 21
16
25 15 24 14 23
则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )
A.2009
2 B.2010
2C.2009?2010 D.2009?2010
12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理如下图:
明文
加密密钥密码
密文 发送
密文
解密密钥密码
明文
现在加密密钥为y?loga(x?2),如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)
13、数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:1?1?12?13???115?2,?12,1?12?13?1,1?12?13???17?32,
,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 . ?0,则数列bn?n15、已知命题:“若数列?an?是等比数列,且ana1a2?an(n?N)也是
?等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.
16、若数列?an?的通项公式an?1(n?1)2(n?N?),记f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an),
试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)?________________.
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)
17、(12分)
已知:sin30?sin90?sin150? sin10sin22?2?2?2??32
sin2?2??70223?sin?13 02?5?sin?65?sin125?32
通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.
18、(12分)
如图(1),在三角形ABC中,AB?AC,若AD?BC,则AB2?BD·BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A?BCD中,AD?面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.
19、(12分)
，d中至少有一个是已知实数a，b，c，d满足a?b?c?d?1,ac?bd?1,求证a，b，c负数.
20、(12分)
已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1. (1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.
21、(12分)
?已知命题:“若数列?an?为等差数列,且am?a,an?b(m?n,m,n?N),
则am?n?ma?nbm?n?”.现已知数列?bn?(bn?0,n?N)为等比数列,
?且bm?a,bn?b(m?n,m,n?N).
(1)请给出已知命的证明;
(2)类比(1)的方法与结论,推导出bm?n.
22、(14分)
在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为?,对于A中的任意两个元素??(a,b),??(c,d),规定:????
(ad?bc,bd?ac).
