1、数学建模入门
1、基本实验 1.1 贷款问题
小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。
(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？
(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三 年还清贷款。但条件是:
(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款 额的1/2；
(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总 额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解：由课件可知前三问。。
由题意，设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额， 则：A0=200000
第1个月的欠款额：A1＝A0（1+r）－x 第2个月的欠款额：A2＝A1（1+r）-x ??
第k个月的欠款额：Ak= Ak－1（1+r）－x
联立以上各式可得：Ak= A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+?+(1+r)+1]
= A0(1?r)?xk(1?r)k?1(1?r)?1
贷款总月数为n，也就是说，第n个月的欠款额为0，即An＝0，令n=k，则每月的还款额x?A0r(1?r)n(1?r)n?1?A0?r，可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。
据上式分析：
（1）r＝0.006，n＝240，A0＝200000，带入始终可计算出每月还款额x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。 （2）若5年后还清全部贷款，即k＝60，则一次付款额A60＝173034.90元。 （3）从银行调整利率后算起，A0=173034.90，n=15×12=180，r＝0.008，由此可以得到x＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。
(4) 根据题意，提前三年即是17年还完贷款额，通过对比我们判断是否考虑借贷公司。
若不考虑借贷公司，每月的还款额x=1574.7元，按每年12个月计，总共的还款额为1574.7×12×20＝377928元。
若考虑借贷公司，每半个月的付款额是原来的一半,即1574.699×0.5，总的还款次数是17×12×2＝408，加上付给借贷公司的佣金总的还款额是1574.699×0.5×408+200000×10%＝341238.596元。
通过对比可知，可以考虑借贷公司。
1.2 冷却定律与破案
按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (To 某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温 度为32.6℃,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪 嫌疑人之外？ 解：根据题意所示，T（t）为t时刻物体的温度，k为散热系数，T0为环境温度， 可得微分方程： dTdt?k(T?T0)； 则可得t时刻物体的温度T（t）?T0?Cekt（1） 记晚上8时20分为t=0时刻，T（0）=32.6℃，T（1）=31.4℃，T0=21.1℃ k?0??T(0)?21.1?Ce?32.6带入（1）式，? k?1T?21.1?Ce?31.4??(1)可解得，C=11.5，k=ln10.3-ln11.5≈﹣0.11，则，T（t）?21.1?11.5e?0.11t 设该女子遇害时间为t，T（t）=37℃，代入上式可得t=-2.95，t=0时刻为晚上8时20分，则遇害时间为8.33-2.95=5.38≈5时23分 而张某5时离开办公室，从办公室到案发现场步行需要5分钟，可见张某不能被排除在犯罪嫌疑人之外。 1.3 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题 (1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？ 解：属于相遇问题，由于该人都是同一时刻出发，同一时刻到达目的地，可假设有两个人同时出发，一个人上山，一个人下山，并且沿着同一条路径，则两人在某一时刻肯定能相遇，亦即是本题中的该人在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。 (2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10 天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过丙站的时刻表是如何安徘的？ 解：由题意可知，坐乙站发车的概率为甲的九倍，假定从甲站发车到乙站经过丙站的时刻表是：7：00，7：10，7：20，?，则从乙站发车到甲站经过丙站的时 刻表应该是：7：09，7：19，7：29，?，即从乙站发车到甲站经过丙站的时刻要比另一个早1分钟。 (3)张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18:00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17:30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？ 解：设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车比平时少了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是17：55，张先生17:30抵达A市火车站。可见张先生步行了25分钟。 (4)一男孩和一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？ 解：由于小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。男孩和女孩从学校到家的时间都是0.5小时，当他们到家时小狗也到家，所以小狗往返跑的时间也是0.5小时，因此小狗所走的路程为3公里； 孩子上学到达学校时小狗的位置不定，因为设想放学时小狗从任何位置起跑，都会与孩子同时到家，之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的方向无法确定。 2、加分实验（公平投票问题） 某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果来确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家， 按照如下规则讲行评比。 (1)为了公平性，评委对本单位选手不给分； (2)每位评委对每位参与申请的人(除本单位选手外)都必须打分，且不打相同的分； (3)评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、? 依次类推。 (4)评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。 本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其它选手没有类似情。评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？
