高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应
用
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；
说明：（1）当θ＝０时，a与b同向； （2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝
?时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。
C
（2）数量积的概念
???????已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱cos?叫做a与b=︱a︱·???。规定0?a?0； b的数量积（或内积）
?????a?b向量的投影：︱b︱cos?=?∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对
|a|值称为射影；
?????b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。 （3）数量积的几何意义： a·
（4）向量数量积的性质
①向量的模与平方的关系：a?a?a?|a|。 ②乘法公式成立
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???2?2???????????a?b??a?2a?b?b22?????2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b；
2?2???2?a?2a?b?b；
③平面向量数量积的运算律
????交换律成立：a?b?b?a；
??????对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?；
????????????分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?。
?????x1x2?y1y2?a?b④向量的夹角：cos?=cos?a,b????=。
2222a?bx1?y1?x2?y2????0
aa当且仅当两个非零向量与b同方向时，θ=0，当且仅当与b反方向时θ=1800，
?同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
????已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2。
??????0
aaa（6）垂直：如果与b的夹角为90则称与b垂直，记作⊥b。
????两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a2b＝O?x1x2?y1y2?0，平面向
量数量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么
|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
（1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。
四．典例解析
题型1：数量积的概念
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例1．判断下列各命题正确与否：
?（1）0?a?0；
??（2）0?a?0；
???????（3）若a?0,a?b?a?c，则b?c；
????????（4）若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立；
?????????（5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；
2（6）对任意向量a，有a?a。
???2解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。
点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚0?a为零向量，而0?a为零。
例2．（1）（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定．．．成立的是（ ）
A．(a?b)?c?a?(b?c) C．m（a?b）=ma+mb
B．(a?b)?c?a?c?b?c
D．(a?b)?c?a?(b?c)
（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a2b）c－（c2a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b2c）a－（c2a）
b不与c垂直
④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：（1）答案：D；因为(a?b)?c?|a|?|b|cos??c，而a?(b?c)?|b|?|c|cos而c方向与a方向不一定同向。
??a；
（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可
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知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b2c）a－（c2a）b］2c=（b2c）a2c－（c2a）b2c=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）（3a－2b）=92a2a－4b2b=9|a|2－4|b|2成立。故④真。
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角
例3．（1）（06全国1文，1）已知向量a、b满足|a|?1、|b|?4，且a?b?2，则a与b的夹角为（ ）
A．
???? B． C． D． 6432（2）（06北京文，12）已知向量a=(cos?,sin?),b=(cos?,sin?),且a??b，那么a?b与a?b的夹角的大小是 。
??????????0（3）已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角。
（4）（2005北京3）| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为
A．30°
解析：（1）C；（2）
（ ）
B．60°
C．120°
D．150°
?； 2????0a（3）由题意，a?b?1，且与b的夹角为120，
????10所以，a?b?abcos120??，
2?2???2???2?????c?c?c?(2a?b)?(2a?b)?4a?4a?b?b?7，
??c?7，
?同理可得?d?13。
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