剖析导数在解析几何中的应用 河北省唐山市丰南区唐坊高中 陈维涛 邮编：063308 电话：13832994320
QQ：346899232邮箱：zhangliqin99@126.com 导数是高中数学的新增内容，导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系，拓宽了解决解析几何问题的思路。特别对研究曲线的切线和最值开辟了新的途径，带来了极大的便利。因为导数f'(x0)的几何意义是曲线y?f(x) 上点(x0,f(x0))处切线的斜率，所以解析几何中的有关切线和最值问题如果用导数来处理，就避免解析几何中的一些繁琐的计算。现举例如下：
一、利用导数研究曲线的切线问题
x2例1．已知椭圆y2a2+b2=1（a>b>0）的
右焦点为Ｆ（c,0），过Ｆ与ｘ轴垂直的直线
与椭圆相交于点Ｐ，过点Ｐ的椭圆的切线l与
ｘ轴相交于点Ａ，则Ａ的坐标为 解：由椭圆方程可知：椭圆位于第一象限内的部分可表示为：y=b(1-x21a2)2，
∴y￠=bx2-122(1-a2)2(-a2x)，
∴y￠x=c=-ca，又∵Ｐ（c,b2a）
∴切线方程为y?b2a??ca(x?c)，令y?0得：x?a2a2c，∴Ａ点坐标为（c,0） 点评：本题若采用常规的设切线方程再与椭圆
方程联立，判别式等于０求切线将会十分繁
琐，而采取求导的方式求切线的斜率使问题变得十分简捷清晰。
例2．已知抛物线G：x2=4y
（1） 求过点P（0，－4）的抛物线Ｇ的切
线方程。
（2） 求点Ｑ（２，１）处的切线方程。
解析：（１）设切点Q(xx20x0，4)．由y??2，
可知抛物线在Q点处的切线斜率为
x02，故所求切线方程为y?x204?x02(x?x0)． 即y=x202x-x04．因为点P(0，??)在切线上．所以?4??x204，x20?16，x0??4．
所求切线方程为 y??2x?4．
（２）因为点Ｑ（２，１）在曲线上，所以由
y??x2，∴k=y?x?2?4，又该切线过点Ｑ （２，１）∴切线方程为4x?y?7?0 点评：导数的几何意义使得导数与解析几何的结合奠定了基础，通过切线二者实现了完美的融合，但要注意题目中的要求，是“某点处的切线”还是“过某点的切线”，因为给定点不一定是切点。如第一问中Ｐ不在抛物线上，当然更不是切点，第二问中的Ｑ是切点。 二、利用导数研究曲线的最值问题
例3． 设a?0，f(x)?ax2?bx?c，曲线
y?f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的
取值范围为[0,?4]，则P到曲线y?f(x)对称
轴的距离取值范围为( )
A[0,1a] B[0,12a]C[0,|bb?12a|]D[0,|2a|] 分析：本题在导数的实际背景之一的切线斜率
和倾斜角概念以及抛物线对称轴方程之间的关系来命题的。
解：由f(x)?ax2?bx?c， 从而f'(x)?2ax?b，
则曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线斜率k?f'(x0)?2ax0?b，又曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,?4]， 故有0≤k≤1，即
0≤2ax0?b≤1，而P到曲线y?f(x)对称
轴的距离为|xb0?2a|?|2ax0?b|2a，所以取值范围为[0,12a]，选B。
例4．在抛物线y?x2?2x?1上求一点，使它到原点O的距离最小，并求出其最小值。 分析：本题是圆锥曲线求最值的一类常规题目——求圆锥曲线上动点到某定点的距离的最值问题。
解：设P?x,y?是抛物线上任一点，则
OP?x2?y2?x2??x2?2x?1?2 不妨设S?|OP|2，则S?x2?(x2?2x?1)2
?x4?4x3?3x2?4x?1
所以S'?4x3?12x2?6x?4
?4(x?2)(x?1?32)(x?1?32) 令S??0， 得x1?31?2，x1?32?2，x3?2 经判断可知，当x?1?32,2时,S取到极大 值；当x?1?32时，S取到极小值。又因为 x?R，所以只需比较S(1?32),S(2)即可。
当x?1?32时，S?11?634；当x?2时，S?5，而11?634?5 由此抛物线上点(1?32,3?22)到原点的距离最小，最小值为11?634。 沙场练兵：
1、过双曲线y2?3x2?3上支上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于A、B，
求证：???OA?·???OB?为定值。
解：设P(x0,y0) (y0＞0)， 则y20=3?3x0，由y?3?3x2， 求导得y??6x3x23?3x2?3?3x2 ∴y?3x0x?x0?3?3x?3x020y 0∴切线方程为y?y3x00?y(x?x0)
0即yy20?y0?3x0x?3x20
∵y20?3x20?3 ∴yy0?3x0x?3 易知双曲线的的渐近线方程为y??3x 设切线与y?3x交于A(x1,y1)， 与y??3x交于B(x2,y2)，
由 ???yy0?3x0x?3得A(33??y?3xy,) 0?3x0y0?3x0由 ???yy0?3x0x?3?33??y??3x得B(yx,) 0?30y0?3x0∴???OA?????OB?=3?3yx?+33x?3 0?30y0?3x0y0?0y0?3x0 =
?3y2x2?922?623x2?6?2 0?30y0?3x0y0?03点评：本题综合程度较高，集中考查了双曲线
的渐近线、导数、向量的知识，其中运用导数求得切线的斜率是关键，此外还需要有扎实的运算能力做保证 2、 如图所示，
曲线段OMB是函数
f(x)?x2(0?x?6)的图象，BA?x轴于A，曲线段OMB上一点
M(t,f(t))处的切线PQ交x轴于P，交线段
AB于Q。
⑴试用t表示切线PQ的方程；
⑵试用t表示△QAP的面积g(t),若函数g(t)在(m,n)上单调递减，试求出m的最小值； ⑶若S121?QAP?[4,64]，试求出点P横坐标的取值范围。
解：⑴、切线斜率k=f'?t??2t，则切线方程为y?t2?2t?x?t?，
即切线PQ方程为y?2tx?t2(0?x?6)。
⑵、令y?0得x?t2；令x?6，y?12t?t2 ?g?t??12APAQ=12(6?t2)(12t?t2)
3?t4?6t2?36t(0?t?6) 由g??t??34t2?12t?36?0，得4?t?12，又0?t?6，?4?t?6
又已知g?t?在(m,n)上单调递减，
??m,n???4,6?，故mmin?4。
⑶当0?t?4时，g??t??0，?g?t?在?0,4?上单调递增g(4)?16?96?144?64
g(6)?2164?216?216?54?1214， 解方程t321214?6t?36t?4(0?t?4)，不难
解得t?1符合。
?S?121??QAP???4,64???t??1,6?，又点P的
横坐标x?t?1?，?x??,3?即P点横坐标的2?2?取值范围为?,3?。
?1?2??
