第4讲 直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 判平面外一条直线与这个平面内的一定条直线平行，则该直线与此平面平定行(线线平行?线面平行) 理 性一条直线与一个平面平行，则过这质条直线的任一平面与此平面的交线定与该直线平行(简记为“线面平行 理 ?线线平行”) 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平判定定理 行，则这两个平面平行(简记为“线面平行? 面面平行”) 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 ∵l∥a，a?α l?α，∴l∥α ∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l∥b 符号语言 ∵a∥β，b∥β， a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β ∵α∥β， α∩γ＝a β∩γ＝b， ∴a∥b [做一做] 1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
α∥c?α∥γ???
??α∥β ②??α∥β ①
?β∥c?β∥γ??α∥c?a∥γ???
??a∥α ④??a∥α ③
??a∥c?α∥γ?
其中正确的命题是( ) A．①②③ B．①④ C．② D．①③④
解析：选C.②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．
1．辨明两个易误点
(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． (2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件． 2．判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理；
(2)利用面面平行的性质定理，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．
[做一做]
2．对于直线m，n和平面α，若n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案：D
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为
________．
解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
考点一__线面平行的判定及性质(高频考点)_______
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．
高考对线面平行的判定及性质的考查常有以下三个命题角度： (1)判断线面的位置关系； (2)线面平行的证明； (3)线面平行性质的应用．
1
如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，DC＝AB，若PM＝MB，求证：CM∥
2
平面PAD.
直线与平面平行的性质
[证明] 法一：取AP的中点F，连接FM，DF，
1
则FM∥AB，FM＝AB.
21
∵CD∥AB，CD＝AB，
2
∴FM∥CD，FM＝CD.
∴四边形CDFM为平行四边形． ∴CM∥DF.
∵DF?平面PAD，CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.
法二：在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，连接PQ，AC. ∵CD∥AB，
∴∠QCD＝∠QBA. ∵∠CQD＝∠BQA， ∴△CQD∽△BQA. QCCD1∴＝＝. QBAB2
∴C为BQ的中点． ∵M为BP的中点， ∴CM∥PQ.
∵PQ?平面PAD，CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.
[规律方法] (1)证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行．
(2)应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．
1. (1)(2015·秦皇岛模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面
ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：AP∥GH. (2)(2015·浙江六市六校联盟模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.
①求证：AB1∥平面BC1D； ②若BC＝3，求三棱锥D-BC1C的体积．
解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接MO， ∵PM＝MC，AO＝OC， ∴PA∥MO，
∵PA?平面MBD，MO?平面MBD， ∴PA∥平面MBD.
∵平面PAG∩平面MBD＝GH， ∴AP∥GH.
(2)①证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD. ∵四边形BCC1B1是平行四边形． ∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D.
②在三棱柱ABC-A1B1C1中，
侧棱CC1∥AA1.
又∵AA1⊥平面ABC， ∴侧棱CC1⊥平面ABC，
故CC1为三棱锥C1-BCD的高，A1A＝CC1＝2，
1113
∵S△BCD＝S△ABC＝(BC·AB)＝，
2222
1
∴VD-BCC1＝VC1-BCD＝CC1·S△BCD
3
13
＝×2×＝1. 32
考点二__面面平行的判定与性质______________
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1
的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?
解：存在．当M为BC1的中点时成立． 证明如下：连接EM(图略)，在△ABC1中， E，M分别为AB，BC1的中点，
1
∴EM綊AC1，又EM?平面A1ACC1，
2
AC1?平面A1ACC1，∴EM∥平面A1ACC1. [规律方法] 判定面面平行的方法：
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；
(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；
(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．
2.(2013·高考陕西卷) 如图， 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方
形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.
