?2?1?11??11?21?? （2）??4?62?2???36?97???20314???（3）3?5427 ????15204??§2.4 矩阵的逆
上节我们介绍了矩阵的加法、减法、乘法，自然会想到矩阵能否做除法呢？我们回想两数相除的情况。设a?0，那么b?a?b?1，即除法化为乘法，而问题是要知道a的倒数a111，且倒数要适合a??1。根据这个想法，我们来考虑矩阵的情况。我们知道单位方aaa阵I在乘法中起着数1的作用。现在我们引入逆方阵的概念，它起着类似于倒数的作用。
2.4.1 可逆矩阵与逆矩阵
定义2.8 设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB?BA?In，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。A的逆矩阵用A表示。 若A可逆,则A的逆矩阵是唯一的。
因为倘若A有两个逆矩阵B、C，即AB?BA?In，AC?CA?In， 于是B?BIn?B(AC)?(BA)C?InC?C，所以逆矩阵是唯一的。 注意 ：
1） 可逆矩阵一定是方阵，且A不能写成
?1?11。 A2） 有逆矩阵的方阵称为可逆矩阵，无逆矩阵的方阵称为不可逆矩阵。 3） 若A的逆矩阵是B，则B的逆矩阵也是A。
?1?2?20?B? 例如，设A??，?1?1?1????2 矩阵的逆满足以下运算律： 1）(A)
?1?1?0??，可直接验证AB?BA?I2，所以A是?1??可逆阵，A的逆矩阵是B，同理，B也是可逆阵，B的逆矩阵是A。
?A，其中A为可逆阵；
14
2）(kA)?1?1?1A，其中A为可逆阵，k是一个数，且k?0； k3）(AB)?1?B?1A?1，其中A、B都是n阶可逆阵； 4）(AT)?1?(A?1)T，其中A为可逆阵。
2.4.2 方阵可逆的条件
下面给出一个方阵可逆的条件。
定理2.2 方阵A为可逆阵的充分必要条件是A为满秩矩阵。
例如在例2.7中，A为4阶方阵，r(A)=3，A为非满秩矩阵，所以A为不可逆矩阵。 利用矩阵的初等行变换可以求某一n阶方阵A的逆矩阵，其方法为：
先在所要求的矩阵旁添上一个与其阶数相等的单位矩阵，成为(A,In)的形式，然后对矩阵(A,In) 进行初等行变换，将其左半部A化为单位矩阵，这时右半部即为A的逆矩阵，即(A,In) 变成(In,A?1) 。这样就把A的逆矩阵A?1求出来了。
?10?2???2 例2.8 设A?01，求A?1。 ?????103???10?2100??10?2100???012010?(1)?(3)2010?????解：(A,I3)??01???
????103001???001101???100302???(I,A?1)2(3)?(2),2(3)?(1)?????????010?21?2 3????001101???302????1所以A???21?2?
??101?? 注意 ：对矩阵(A,In) 进行初等行变换时，若所变换矩阵左半部子块中有一行的元素全为0，可知A为非满秩矩阵，由定理2.2，则知A为不可逆矩阵。
练习 2.4
1． 下列矩阵是否可逆？若可逆，求其逆矩阵。
15
（1）??10?； ??00?（2）??1?1??；
?11???12?1???2?. （3）34????5?41??2． 试利用矩阵的初等行变换求下列矩阵的逆矩阵。
?321???（1）315 ????323???3?20?1??0221?? （2）??1?2?3?2???0121??3． 利用逆矩阵解下列线性方程组。
?x1?2x2?2x3?3?（1）?2x1?x2?2x3?0
?4x?3x?x?323?1?x1?2x2?3x3?3?（2）?2x1?2x2?2x3?2
?3x?x?x??123?14． 解下列矩阵方程： （1）??25??11?X????10? 13?????12?3??32?4???1?30?X（2）? ???1027????2?10??*§2.5 分块矩阵的运算
当我们遇到阶数较高的大矩阵时，往往可以把它看成一个由子矩阵构成的阶数较低的矩
阵，这样做既能使矩阵的运算简化，也能使矩阵的特性更加明显。这种处理方法就称为矩阵的分块。
设A是一个矩阵，我们把A的行之间或列之间加上一些线，把A分成若干小块，被分
16
成若干小块的矩阵称为分块矩阵。
?a11?a例如
A??21?a31??a41a12aa22aa32aa42a13233343a?14a?4?2, a?34?a?44可以如下分成四个小块：
?a11 ??a21?a31?a?41a12a13a1?4?a22a23a2?4.
a32a33a?34a42a43a??44其中每一小块可看成一个矩阵：
?aA11??11?a21?aA21??31?a41?a13a14?, a12?, A?12?a?a22??23a24??a34?. ?aa32?,
A22??33??a42??a43a44?这样A可简写为
A??A11A1?2.
?A??21A2?2给了一个矩阵可以有各种不同的分块方法，例如，上面的矩阵A也可以分成：
?a11?a21A???a31???a41a12a22a32a42a13a23a33a43?a11a14?? 或 a24??a?A??21a34?a?31??a44???a41a12aa22a32a42a??a23a24? a33a34??a43a44??1314等等。
下面说明分块矩阵的运算。
2.5.1 数量乘法
设矩阵A分块如下，
?A11A12?AA22
A??21???As1As2At?1At??2， ??Ast?kAt?1kAt??2. ??kAst?而k是一个数，则由数量乘法易知
?kA11kA12?kAkA22
kA??21???kAs1kAs2这就是说，用一个数乘分块矩阵，相当于用这个数乘各个小块。
2.5.2 加法
设A与B是两个m×n矩阵，并且用同样的分法进行分块，
17
