进而证明:在不改变元素顺序的前提下,A中元素的乘积与所加括号无关.
证明 当m?1时,根据定义,对于任意的正整数n,等式成立.
假设当m?r(r?1)时,对于任意的正整数n,等式成立.当m?r?1时,由于
“?”适合结合律,我们有
??n??r?1??n??m???a?a?a?a??????i???n?j???i???n?j??
?i?1??j?1??i?1??j?1???r??n??????????ai??????an?j??an?r?1?
?i?1???j?1????n??r????????a?a??i???n?j???an?r?1 ??????i?1??j?1n?r?1n?m?n?r?????ai???an?r?1??ak??ak.
k?1k?1?i?1?所以,对于任意的正整数n和m,等式成立.
考察A中任意n(n?1)个元素a1,a2,?,an:当n?3时,要使记号a1?a2???an变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于?ai.
i?1n事实上,当n?1或n?2时,无需加括号,我们的结论自然成立.当n?3时,由
“?”于适合结合律,我们的结论成立.假设当n?r(r?1)时我们的结论成立.考察
n?r?1的情形:不妨设最后一次运算是a?b,其中a为a1,a2,?,an中前
s(1?s?n)个元素的运算结果,b为a1,a2,?,an中后n?s个元素的运算结果.于
是,根据归纳假设,
a??aj, b??as?k.
j?1k?1sn?s?s??n?s?n???as?k?所以最终的运算结果为a?b?????ai. ??aj????i?1?j?1??k?1“?”3.设Q是有理数集.对于任意的a,b?Q,令a?b?a?b2,证明: 是Q上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.
“?”证明 众所周知,对于任意的a,b?Q,a?b?a?b2?Q.所以是Q上的一个代数运算.令a?0,b?1,c?2.由于
(a?b)?c?(0?1)?2?1?2?1?22?5, a?(b?c)?0?(1?2)?0?5?0?52?25,
“?”从而,(a?b)?c?a?(b?c),所以不适合结合律.由于
b?c?1?2?1?22?5, c?b?2?1?2?12?3,.
“?”从而,b?c?c?b.所以不适合交换律.
§2 群的概念
???ab?1.证明:G????cd??a,b,c,d?Z??????? 关于矩阵的加法构成一个群. ??证明 首先,众所周知,G??,A?B?G,?A,B?G.由于矩阵的加法适合
?00?结合律,G上的加法适合结合律.其次,令O???00??,则O?G,并且
???ab???a?b???,令?G?A?O?A?A?O?A,?A?G.最后,对于任意的A???cd???c?d??,????则?A?G且A?(?A)?(?A)?A?O.所以G关于矩阵的加法构成一个群.
??12.令G??????0个群.
0???10??10???1?,??0?1??,??0?1??,??1???????00????,证明:G关于矩阵的乘法构成一1????1证明 将??0?的乘法表如下:
0??记作E,并将G中其余三个矩阵分别记作A,B,C.于是,G上?1?· E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律,G上的乘法适合结合律.从乘法表可知,
EX?XE?X,XX?E,?X,Y?G.
所以G关于矩阵的乘法构成一个群.
3.在整数集Z中,令a?b?a?b?2,?a,b?Z.证明:Z关于这样的乘法构成一个群.
证明 对于任意的a,b,c?Z,我们有
(a?b)?c?(a?b?2)?c?(a?b?2)?c?2?a?b?c?4, a?(b?c)?a?(b?c?2)?a?(b?c?2)?2?a?b?c?4,
从而(a?b)?c?a?(b?c).这就是说,该乘法适合结合律.其次,2?Z,并且对于任意的a?Z,我们有
2?a?2?a?2?a?a?2?2?a?2,
a?(4?a)?a?(4?a)?2?(4?a)?a?2?(4?a)?a.
所以Z关于该乘法构成一个群.
4.写出S3的乘法表.
解 S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)},S3的乘法表如下:
· (1) (1) (1) (12) (12) (1) (13) (13) (132)(23) (123)(132) (23) (123) (132) (12) (13) (12) (123)(23) (13) (13) (123)(1) (132)(12) (23) (23) (123) (123)(1) (23) (132)(13) (12) (1) (123)(13) (23) (23) (12) (12) (132) (132) (132)(13) (1) (123) “?”5.设(G,?)是一个群,证明: 适合消去律. 证明 设a,b,c?G.若a?b?a?c,则
b?e?b?(a?1?a)?b?a?1?(a?b)?a?1?(a?c)?(a?1?a)?c?e?c?c.
“?”同理,若b?a?c?a,则b?c.这就表明,适合消去律.
6.在S5中,令
?12345??12345???,f??g??23154??13452??.
????求fg,gf和f?1.
解 我们有
?12345??12345??1?12345???,fg??gf??21543??34125??,f???31254??.
??????7.设a?(i1i2?ik),求a?1. 解 我们有a?(ikik?1?i1).
8.设f是任意一个置换,证明:f?(i1i2?ik)?f?1?(f(i1)f(i2)?f(ik)). 证明 事实上,易见,f(i1),f(i2),?,f(ik)是{1,2,?,n}中的k个不同的数字.由直接计算可知,
(f?(i1i2?ik)?f?1)(f(ij))?f(ij?1),1?j?k?1;
(f?(i1i2?ik)?f?1)(f(ik))?f(i1).
其次,对于任意的i?{1,2,?,n}\\{f(i1),f(i2),?,f(ik)},i在f?(i1i2?ik)?f?1之下的像是i本身.所以f?(i1i2?ik)?f?1?(f(i1)f(i2)?f(ik)).
“?”“?”9.设S是一个非空集合,是S上的一个代数运算,若适合结合律,则“?”称(S,?)是一个半群(或者称S关于构成一个半群).证明:整数集Z关于乘法构成一个半群,但不构成一个群.
证明 众所周知,Z是非空集合,对于任意的a,b?Z,总有a?b?Z,并且整数乘法适合结合律,所以Z关于乘法构成一个半群.其次,令e?1.于是,对于任意的a?Z,总有
e?a?a?e?a.
但是,0?Z,并且不存在b?Z,使得0?b?e.所以Z关于乘法不构成一个群.
10.设A是一个非空集合,S是由A的所有子集构成的集合.则集合的并
“?”是S上的一个代数运算.证明:(S,?)是一个半群.
证明 众所周知,对于任意的X,Y,Z?S,总有
(X?Y)?Z?X?(Y?Z).
“?”这就是说,S上的代数运算适合结合律,所以(S,?)是一个半群.
注 请同学们考虑如下问题:设A是一个非空集合,S是由A的所有子集构
“?”成的集合.定义S上的代数运算 (称为对称差)如下:
X?Y?(X\\Y)?(Y\\X),?X,Y?S.
求证:(S,?)是一个交换群.
???ab?11.令S????cd??a,b,c,d?Z???????.证明S关于矩阵的乘法构成一个半群. ??证明 众所周知,对于任意的A,B,C?S,总有
AB?S,(AB)C?A(BC).
这就是说,矩阵的乘法是S上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S关于矩阵的乘法构成一个半群.
12.设(S,?)是一个半群,e?S称为S的一个左(右)单位元,如果对于任意的
a?S都有e?a?a(a?e?a).对于a?S,如果存在b?S使b?a?e(a?b?e),则
