华南农业大学附中2014届高考数学一轮复习单元精品训练：计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( ) A．24种 【答案】B 2．(ax?1)nB．48种 C．96种 D．120种
?anxn?an?1xn?1???a1x?a0(n?N*),，点列Ai(i,ai)(i?0,1,2,?n)的部分
图象如图所示，则实数a的值为( )
A．1 【答案】C
B．
1 2C．
1 3D．
1 43．从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有( ) A．100种 【答案】D
4．n∈N，则（20-n）(21-n)??(100-n)等于( )
A．A100?n 【答案】C
5．设n?N,则6CnA．0 【答案】D
A．3 【答案】D
7．六件不同的奖品送给5个人, 每人至少一件,不同的分法种数是( )
A． C5 【答案】D
8．5名学生A、B、C、D、E和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A、B、C要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为( )A．432 【答案】A
[来源:www.shulihua.net]B．400种 C．480种 D．2400种
*
80B．A100?n
120?nC．A100?n
81D．A20?n
81?2n除以8的余数是( ) ?62Cn???6nCnB．2
C． ?2
D．0或6
6．登上一个四级的台阶，可以选择的方式共有( )种．
B．4
C．5
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]D．8
4B． 5
6C． A6.A5
51D． C6A525
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]
C．144
D．72
B．216
?2?x?展开式中不含．．x项的系数的和为( ) 9．
84A．?1 【答案】B
B． 0 C． 1 D． 2
10．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标有1，2??9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )种
A．18
[来源:数理化网]B．36 C．72 D．108
【答案】D
?，an.若满足11．自然数1，2，3，?，n按照一定的顺序排成一个数列：a1，a2，a1-1+a2-2+?+an?n?4，则称数列a1，a2， ?，an为一个“优数列”.当n?6时，这样的
“优数列”共有( )
A．24个 B．23个 C．18个 D．16个 【答案】A
12．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个 C．36个 D．35个 【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(x?1)?(x?1)【答案】15
14．在4名男生3名女生中，选派3人作为“5?19中国旅游日庆典活动”的志愿者，要求既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至多只能一人参加，则不同的选派方法有____________种（用数作答）. 【答案】25 15．在二项式(x?【答案】10
22?(x?1)3?(x?1)4?(x?1)5的展开式中的x3的系数是____________ 15)的展开式中，含x4的项的系数是 x?21?16．?x??1?展开式中x4的系数为 (用数字作答).
x??【答案】20
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？
【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：
5
第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C211?C3?6种； 1?C3?12种；
第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C411第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C4 第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A421?C2?8种；
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?12种；
由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。
18．（1）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是多少？ (2)求(1?x)4(1?x)3的展开式中含 x2的项的系数.
【答案】（1）先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A3A2＝24个 ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
13??2(2)(1?x)(1?x)??1?4x?6x?4x?x??1?3x?3x?x2?
??
432342222x2的系数是 -12+6=-6
19．已知(1?1nx)展开式的各项依次记为a1(x),a2(x),a3(x),?an(x),an?1(x)． 2设F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)． (1）若a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次成等差数列，求n的值； (2）求证：对任意x1,x2?[0,2]，恒有|F(x1)?F(x2)|?2【答案】（1）依题意ak(x)?Cn(k?1n?1(n?2)?1.
1k?1x)，k?1,2,3,?,n?1， 2n1n(n?1)1120??，Cn?()2?， a1(x),a2(x),a3(x)的系数依次为Cn?1，Cn2228nn(n?1)所以2??1?，解得n?8；
28(2）F(x)?a1(x)?2a2(x)?3a3(x),??nan(x)?(n?1)an?1(x)
01121n?11n1?Cn?2Cn(x)?3Cn(x)2??nCn(x)n?1?(n?1)Cn(x)n
2222012n?1n F(2)?Cn?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cn设Sn012n?1n， ?Cn?2Cn?3Cn??nCn?(n?1)Cn则Snnn?1210 ?(n?1)Cn?nCn??3Cn?2Cn?Cnkn?k，将以上两式相加得： ?Cn考虑到Cn012n?1n2Sn?(n?2)(Cn?Cn?Cn??Cn?Cn)
所以Sn?(n?2)2n?1
又当x?[0,2]时，F'(x)?0恒成立，从而F(x)是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意x1,x2?[0,2]，|F(x1)?F(x2)|?F(2)?F(0)?(n?2)2n?1?1．
20．在二项式(axm?bxn)12 (a>0，b>0，m，n?0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项。 (1）求它是第几项； (2）求
a的范围。 b12?rr12?rrm?12?r??nr??bxn??C12abx为常数项，则有m(12－r)+nr=0
rr【答案】（1）设Tr+1=C12?axm? 即m(12－r)＋nr=0 所以=4，即它是第5项 (2）因为 第5项是系数最大的项
484393?C12ab?C12ab??484575?C12ab?C12ab?12?11?10?98412?11?1093ab?4?3?2ab?3?2??a8?? ?b5
?a9?b?4??a8???b589??a?5421．已知
?x?1?n?a0?a1?x?1??a2?x?1?2???an?x?1?n（n?2,?a2?a3?a4?a5的值；
， n?N*）
(1）当n?5时，求a1(2）设bn?a2,Tn?b2?b3???bn，试用数学归纳法证明：当n?2时，n?32Tn?n?n?1??n?1?。
35f?x???x?1?，
【答案】（1）记
则a1?a2?a3?a4?a5?f?2??f?1??35?25
(2）设x?1?y，则原展开式变为：则a22n?2?Cn2
?y?2?n?a0?a1y?a2y2?...?anyn，
所以bn?a2?n?n?1? 2n?3
当n?2时，T2?2,b2?2，结论成立
k?k?1??k?1?
3假设n?k时成立，即Tk?那么n?k?1时，
Tk?1?Tk?bk?1?k?k?1??k?1???k?1?k
3
?k?1?k?k?1??k?2? ?k?k?1???1??33???
?k?1???k?1??1???k?1??1?，结论成立。
3n?n?1??n?1?。
3所以当n?2时，Tn?22．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？
(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？ 【答案】 (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A4＝24(种)．
5
(2)∵总的排法数为A5＝120(种)，
15
∴甲在乙的右边的排法数为A5＝60(种)．
2
(3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．
分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
2
若分配到2所学校有C7×2＝42(种)；
3
若分配到3所学校有C7＝35(种)． ∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．
6
法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C9＝84种不同方法．
所以名额分配的方法共有84种．
3
