2.5 2 1.5 Residual1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 x 10 6 Residual Case Order Plot 1 2 3 4 5 Case Number 6 7 8
图2 残差分布图
(二) 模型二：人口状态转移模型
1、在基本假设的基础上，针对该模型，还需作如下假设：
（1）城、镇、乡之间的人口没有相互转移的过程，即人口的增长只取决于人口的自然增长
（2）人口的死亡率、生育率等参数在稳定条件下近似的看成是不随时间变化而变化的
2、模型建立
设在第t年，年龄是i岁的女性人口数为xiW(t)，该年i岁的女性的死亡率是diW(t)，即在接下来的一年里，有diW(t)×xiW(t)名女性死亡，因此，存活下来的女性的人口数为（1-diW(t)）×xiW(t)，即在第t+1年，年龄是i+1岁的女性人口数xiW（1-diW(t)）)= ?1(t?1×xiW(t)。这种人口的变化过程是一个人口不断转移的动态过程，用这样的方法，我们可以进行递推得到以后的任何一年女性的人口数，同理可得，在第t+1年，年龄是i+1岁的男性人口数xiM)= （1-diM(t)）×xiM(t)。由此，我们可以清晰的看到，从第t?1(t?1年到第t+1年，人口的状态分布可以表示为：
xiW)= （1-diW(t)）×xiW(t) ?1(t?1xiM)= （1-diM(t)）×xiM(t) ?1(t?1 ５
其中i=0，1，2??m-1（m为统计数据中的年龄的最大值）
而在第t年年龄为0岁的人口到第t+1年变成1岁时，在t到t+1年之间新出生的人口数成为第t+1年的年龄是0岁的人口数，用x0(t?1)表示，由此，我们可以得出计算x0(t?1)的方法：
x0(t?1)?[1?d00(t)]?(t?1)
式中：d00(t)----表示第t年婴儿死亡率，
?(t?1)-----表示t到t+1年中生育婴儿的总数，由参考文献[2]和[3]得出其计
算方法可用下式表示：
?(t?1)??(t)?i?2?hi(t)ki(t)xi(t)
1?式中各符号的含义如下：
?(t)---即附件1中所提到的总和生育率； hi(t)----为生育模式；( 此模式见后面讨论) ki(t)---为第t年i岁女性比例系数； xi(t)---为第t年i岁的人口总数
?1和?2分别为最大和最小生育年龄
依据上述分析可以建立如下状态转移的递推数学模型：
x0(t?1)?[1?d00(t)]?(t?1)
WWMMx1(t?1)?[1?d0(t)]x0(t)?[1?d0(t)]x0(t) WWx2(t?1)?[1?d1(t)]x1(t)?[1?d1M(t)]x1M(t)
?
WWMMxm(t?1)?[1?dm?1(t)]xm?1(t)?[1?dm?1(t)]xm?1(t)
由总人口数等于各年龄人数的总和可得，第t+1年人口总数
x(t?1)??i?0xi(t?1)。
m用该模型可分别预测城、镇、乡中长期人口的变化情况。
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3、结果的推导:
由假设知，死亡率不随t的增加而增加，即
MdiW)?diW)?diM?1(t?1?1(t)，di?1(t?1?1(t)
得递推关系式
WMMxi(t?1)?[1?diW?1(t)]xi?1(t)?[1?di?1(t)]xi?1(t)
xi(t?2)?[1?diW)]xiW)?[1?diM)]xiM) ?1(t?1?1(t?1?1(t?1?1(t?1WWMMM=[1?diW+(t?1)][1?d(t)]x(t)[1?d(t?1)][1?d(t)]x?1i?2i?2i?1i?2i?2(t) WMM=[1?diW1?diW1?diM?1(t)][?2(t)]xi?2(t)+[1?di?1(t)][?2(t)]xi?2(t)
?
WWMMMxi(t?n)=[1?diW?1(t)]?[1?di?n(t)]xi?n(t)+[1?di?1(t)]?[1?di?n(t)]xi?n(t)（i>n）
再求出x(t?n)??i?0xi(t?n)即得出第t+n年的人口总数。
4、参数确定
下面我们对计算过程中的用到的一些参数的值做一些说明：
（1）利用Excel对数据进行初步整理，我们可以直观的看到各数据量之间的关系，例如下图反映的是2005年城市男性的死亡率与男性年龄的关系，可以大致看出城市男性的死亡率与年龄成指数关系：
死亡率350300250200死亡率150100500020406080100m
图3 城市男性的死亡率与年龄的关系图（以2005年数据为例，单位?） 而做出各年城市男性的死亡率与男性年龄的关系的图，可以看出，从2001年到2005年，死亡率与年龄的关系并没有随着时间的推移而发生明显的变化，因此，我们将城市男性
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死亡率与年龄的关系看成是稳定的，对其进行进行数据拟合，得到函数：
y?0.00648e0.0970x，
其中x代表城市男性年龄，y代表城市男性死亡率。同理，我们可以得到镇、乡男性死亡率与年龄的关系以及相应的女性死亡率与年龄的关系。
（2）总和生育率?(t)：关于?(t)的定义及计算方法已在题目的附录1中给出，我们对不同年的计算结果列表如下：
表1 总和生育率计算结果 总和生育率 2001 2002 2003 2004 2005 平均数 城 镇 乡 1.00208 1.18864 1.60399 0.96053 1.20339 1.65267 0.9521 1.317 1.6769 1.04831 1.34744 1.68698 0.92648 1.27797 1.65371 0.9779 1.266888 1.65485 各年的数值相对稳定，因此，我们在计算过程中采用平均值。
通过参考资料[2]，我们得到这样的结论：规范化的生育模式可以较准确的用统计学中的卡方密度曲线来逼近，生育模式可表示成：
i??1????1???(i??1)e.......i.??1 ?hi(t)????(?)??.......................i??1?0..........其中，?和?是两个参数，?1为最小生育年龄，?一般取常数，?是一个整数，它决定生育峰值之所在，曲线hi(t)的峰值对应的年龄rmax=?1?????，我们通过数据拟合的方法确定了城镇乡不同的生育模式，应用到模型中。
（3）d00(t)的确定：婴儿死亡率为本年内不满周岁死亡人数与同年出生人数之比，该值是反映妇幼保健工作水平的重要指标，也可以看作是不随时间变化的，由参考文献[1],城、镇、乡的婴儿死亡率分别为10.1?, 11.3?和24.6?。
在计算男女0岁人口数目时，我们用到了出生人口的性别比例这一附录2中给出的数据。用Excel作出该数据的图表示例，我们可以清晰的看到，近年来，城出生人口的性别比例稳定在均值附近，镇的出生人口的性别比例围绕固定值上下波动，乡的出生人口的性别比例是近似线性递增的，因此，在计算的过程中我们采用的城、镇的出生人口的性别比例值都是近几年的平均值，而乡的对应值直接采用2005年的出生人口的性别
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