《广义相对论基础》第五次作业答案
一、设??是Killing矢量场，试证?;???0。
证明：??;??(g????);??g????;??g????;???g????;????;??，
因此 ?;???0。
二、设ds2??(x0)4(dx0)2?2ex(dx1)2?e?x(dx2)2?(dx3)2，证明时空是平直的。
x1??1??23??证明：ds???d?(x0)????d?22e2??????322????d??2e?x2????????122???(dx3)2， ????2可见，在坐标变换
1?3t?(x),0?3?1?x?22ex2, ???x2?y??2e2,?z?x3?下，有 ds2??dt2?dx2?dy2?dz2， 故时空是平直的。
三、简述伯克霍夫定理的内容。
真空球对称度规一定是静态的。如果球对称的引力源不是静止的，而是在作径向运动，但在运动中保持球对称性，例如在收缩、膨胀或径向振荡，伯克霍夫定理说，它的外引力场仍然可以用史瓦西解来描述。
四、Schwarzschild度规为
2GM2GMds2??c2(1?2)dt2?(1?2)?1dr2?r2(d?2?sin2?d?2)。
crcr2GM已知球对称星体的半径r0?2，求出对无穷远观测者成立的引力红移公式，
c并指出在什么情况下红移会变成无穷大。
解：E?P?U?,
而静态观者的四维速度为
U??故
1(1,0,0,0)， ?g00?P0。 ?g00E?由E?h?，则
?g00???P0h，
对史瓦西度规，有
?1?2GM??P0h， r?2GM。 ?1??0R当R?2GM时，
??0，此时红移为无穷大。 ?0
五、已知Schwarzschild度规
ds2??(1?2M22M?122)dt?(1?)dr?r(d?2?sin2?d?2)rr2M?(1?)(?dt2?dr*2)?r2(d?2?sin2?d?2),r
其中r*?r?2Mln(r?1)叫做乌龟坐标。令v?t?r*，u?t?r*，再令V?e?v，2M111??T?(U?V)，X?(V?U)，U??e??u，，试证明史瓦西度规在Kruskal
4M22坐标系{T,X,?,?}中的线元表达式为
32M3?r/2Mds?e(?dT2?dX2)?r2(d?2?sin2?d?2)。
r2 解：
1?dT?(dU?dV)??222???dT?dX??dUdV,
1dX?(dV?dU)??2?dV??e?vdv?2?(v?u)?dUdV??edudv， ???udU??edu?dv?dt?dr*?22??dudv?dt?dr*，
du?dt?dr*?故
(1?2M2M2M2)(?dt2?dr*)??(1?)dudv??(1?)(??2)e??(v?u)dUdVrrr2M ??(1?)(??2)e??(v?u)(dT2?dX2)r32M3?r2M?e(?dT2?dX2).r因此，有
32M3?r/2Mds?e(?dT2?dX2)?r2(d?2?sin2?d?2)。
r2
六、简述黑洞热力学四定律。
（1）第零定律：稳态黑洞视界的温度是一个常数。 （2）第一定律：能量守恒
?M?T?S???J?V?Q。
（3）第二定律：黑洞熵在顺时方向永不减少
?S?0。
（4）第三定律：不能通过有限次操作把视界的温度T降低到绝对零度，其中T为视界温度，即黑洞温度,它满足T??。 2?kB
