华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题
一．设a?0,0?x1?a ，xn?1?xn(2?证明：?xn?收敛，并求其极限。
二.证明：若函数
xn),an?N，
f在区间I上处处连续，且为一一映射，则f在I上为严格
单调.
三.用条件极值的方法证明不等式：
222x1?x2?...?xn?x?x2?...?xn?(x?0,k?1,2,...,n) ??1k?nn??2
四.设f(x)在
(a,?)上可导，且limf'(x)???，证明f(x)在
x???(a,?)上不一致连续。
五.设f(x)在
?a,b?上二阶可导，且
?baf(x)?0，f''(x)?0，证明：
f(x)?
2b?af(t)dt,x??a,b?.
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六.设f(x,y)在D??a,b???c,d?上有二阶连续偏导数。 （1） （2）
利用（1）证明：
''''fxy(x,y)?fyx(x,y),(x,y)?D.
通过计算验证：
??D''''fxy(x,y)dxdy???fyx(x,y)dxdy
Df(x)七.设对每个n,n在
fn(x)?（1）
（2） 八．设S limn??a?x?b?a,b?上有界，且当
n??时，
f(x)?,?xa,b?证明：
f(x)在?a,b?上有界；
supfn(x)?supf(x),(?suplimfn(x))
a?x?ba?x?bn???R2,P0(x0,y0)为S的内点，P1(x1,y1)为S的外点，证明：
直线段P0P1至少与S的边界?S有一个交点。
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华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
一．（24分）计算题： （1）lim(x?011?);
ln(1?x)x
cosx?sin3xdx; （2）?21?cosx
（3）设z?z(x,y)是由方程
F(xyz,x2?y2?z2)?0,所确定的可微隐函数，试求gradZ.
1?n?1?????二．（14分）证明：（1）??1???为递推数列；
n??????
111?ln(1?)?（2），n=1,2,…. n?1nn
三．（12分）设f在?a,b?中任意两点之间都具有介值性，而且内可导，|f在
?a,b?f'(x)|?K（正常数）, x?(a,b).证明f在点a右连续（同
理在点b左连续）.
四．（14分）设In?（1）In?
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?10(1?x)dx.证明:
2n2nIn?1,n=2,3…;
2n?1（2）In?
23n,n=1,2,3….
五（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线
?z?0y?f(x),x?[a,b](f(x)?0)饶
x轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为
A?2??baf(x)1?f'2(x)dx
（提示：据空间解几知道S的方程为
六（24分）级数问题：
（1）
（2）
ny2?z2?f2(x)）
?sinx,x?0?设f(x)??x,求f??1,x?0(k)(0)。
设?an收敛，limnan?0证明:
n?1nn?? ?n(an?an?1)??an
n?1n?1n
（3）
设{fn(x)}为a,b上的连续函数序列，且
??fn(x)?f(x),x?[a,b]
证明：若f(x)在?a,b?上无零点。则当n充分大时fn(x)在?a,b?上也无零点，并有
11?,x??a,b? fn(x)f(x)
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