12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立， 3
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
2
13．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________. 3
[答案] － －6
2
[解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c ∵f(x)的单调区间是[－1,2]， ∴－1,2是f′(x)＝0的两根． 2bc
∴－1＋2＝－，－1×2＝ 333
即b＝－，c＝－6.
2
14．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________． 1
，＋∞? [答案] ??3?
[解析] f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，1
∴m≥. 3
三、解答题
11
15．求函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调区间．
32[解析] ∵f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)， 令f′(x)>0得，x>2或x<－3.
∴函数f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函数， 令f′(x)<0，得－3 11 ∴函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为 32(－3,2)． 16．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间． [解析] f′(x)＝3x2＋a. ∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5、5是方程3x2＋a＝0的根， ∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75. 令f′(x)>0，则3x2－75>0. 解得x>5或x<－5. ∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)． 17．已知x＞0，求证：x＞sinx. [证明] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)， f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立． ∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数． 又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立． 即：x＞sinx (x＞0)． 1－a 18．(2010·山东卷文，21)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)． x(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； 1 (2)当a≤时，讨论f(x)的单调性． 2 [解析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想． 2 (1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)． xx2＋x－2 f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， x2因此f′(2)＝1， 即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln2＋2， 所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0. 1－a (2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1， x a－1ax2－x＋1－a1 所以f′(x)＝－a＋2＝－ x∈(0，＋∞)． xxx2令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞) ①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)， 有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； 1 ②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]， a 1 (ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减； 211 (ⅱ)当0 2a x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； x∈(1，1 a－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增； x∈(1 a－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减； ③当a<0时，由1 a －1<0， x∈(0,1)时，g(x)>0，有f′(x)<0，f(x)递减； x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f′(x)>0，f(x)递增． 综上所述： 当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增； 当a＝1 2 时，f(x)在(0，＋∞)上递减； 当0 2时，f(x)在(0,1)上递减，在(1，a－1)上递增，在(a－1，＋注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚． ∞)上递减．
