必须讨论集值映射而不是函数，我们以前讨论的映射都是集值映射的特例。
?设集值映射?:X?Y，则X?Y的子集合
G(?)?{(x,y)|y??(x)}
称为?的图像，如图16-15。另一方面，X?Y中的每个子集A确定了一个关系?：
?(x)?{y|(x,y)?A}
如果对于每一个x?X,?(x)??,则?是X到Y的一个集值映射。
为了讨论不动点的存在性，我们必须讨论集值映射的连续性。直观上说，连续是指当x在一个很小的范围内变化，因变量集合?(x)也应该在很小的范围内变化，我们用距离来描述远近和范围，因此在下面的讨论中均假设X和Y是度量空间。
?定义16.28 设?:X?Y是集值映射，x0?X，如果对于X中任意收敛于x0的序列
{xn}，当yn??(xn)，且yn收敛于y0时，则有y0??(x0)，我们就称?在x0处上半连续；
如果?在每个x?X处都是上半连续的，则称集值映射?是上半连续的。
?根据定义，容易证明集值映射?:X?Y是上半连续的当且仅当其图像G(?)是X?Y的
闭集，上半连续可以看作是函数连续概念的推广。
事实上，如果f:X?Y是单值映射，且Y是紧集，则f连续的充分必要条件是其图像G(f)为X?Y的闭集，必要性是显然的，下面我们证明充分性，设G(f)是X?Y的闭集，任给x0?X和收敛于x0的序列{xn}，令yn?f(xn)，且y0?f(x0)，则(xn,yn)是
G(f)中的序列，由于Y是紧集，{yn}存在一收敛子列{ynr}，设其收敛点为y，于是
(xnr,ynr)收敛于(x0,y)，依照设，(x0,y)?G(f)，故y?f(x0)?y0.同理，可得{yn}的
任意收敛子列都收敛于y0，因此yn收敛于y0,故f是连续的。
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要注意：当Y不是紧集时，图像为闭集的函数不一定连续，例如：
?1?,f(x)??x??0,的图像是R?R中的闭集，但f在x?0不连续。
现在我们可以叙述角谷不动点定理。
x?0x?0
?定理16.26（角谷不动点定理） 设X?R是凸集，集值映射?:X?Y是上半连续
N的，并且对每个x?X，集值?(x)是凸集，则存在x?X，使得x*??(x*)。
证明 我们首先证明当X是R中的m维单形的情形。设
N*X????v0,v1,v2,?,vm?，
在其n重分?(n)上定义映射f(n):?(n)??(n)如下：
当x是任意胞腔的顶点时，取f(n)(x)等于?(x)中的一点；如果x不是任何胞腔的顶
(n)(n)(n)(n)点，而是某一胞腔?v0,v1,v2,?,vm?中的点，设其重心坐标是(n)(n)(n)(?0)，即 ,?1(n),?2,?,?mmmx???v,(n)(n)iii?0?(n)i?,0??i?0(n)1?1.(16?24)
记yi(n)?f(n)(vi(n))(i?0,1,?,m)，定义
f(n)(x)???i(n)yi(n) （16-25）
i?0m注意，当x在两个胞腔的公共面时，由两个胞腔定义的f映射，显然，f(n)(n)(x)是一致的，因此f(n)是
在每个胞腔上是连续的，依粘接定理得f(n)(n)是X上的连续映射。根据布
劳威尔定理，存在x?X，使得
x(n)?f(n)(x(n)) （16-26）
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如果x(n)恰好是一个顶，则由f(n)的定义，有x(n)??(x(n))；当x(n)不是顶点时，设
其满足式（16—24）和式（16—25），考察下列序列
{x(n)},{?i(n)},{yin}?{f(n)(vi(n))},(i?0,1?,m).
由博尔查诺一魏尔斯特拉斯定理，存在收剑子列，设当nr??时，有
x(nr)?x*,?i(nr)??i,y(nr)?yi,(i?0,1,?,m),
则由式（16-26）及式（16-25），得
x???iyi （16-27）
*i?0m由于胞腔是收缩到一点的，所以当nr??时，
vi注意(vi(nr)(nr)?x*(i?0,1,?,m).
,yi(nr))?G(?)，且收敛于x*,yi，而?是上半连续的，故(x*,yi)?G(?)即
yi??(x*)(i?0,1,?,m).
依假设，?(x*)是凸集，由式（16-27），得x*??(x*).至此，我们证明了当X是单形的情形：
如果X不是R中的单形，我们要把问题转化到单形上，不失一般性，假设X在R中有内点，即存在R中的开球B(x0,?)?X.
由于X是有界闭集，存在一个n维单形?包含X，我们定义映射f:??X如下：
NNNa?X?a, f(a)??线段ax与X边界的交点，a?X0?如图16-16所示，由于X是凸体，当a?X时，线段ax0与X的边界有且只有一个交点，因此f是有意义的。
定义?:???是f与?的复合，即
?(a)??(f(a))?X?(a??)(16?28)
显然?(a)都是凸集，又由于f 是连续的，故?是上半连续的，应用上面的结论，存在
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，得x*?X。于是f(x*)?x*，定理得证。 x*??,使得x*??(x*)。由?的定义（16—28）
显然，布劳威尔定理是角谷定理的特殊情形。因为如果f是X到自身的单值连续映射，则集值映射?(x)?{f(x)}的图像{(x,y)|x?X,y?f(x)}是闭集，因此，?(x)是上半连续的，角谷的定理条件是必须的；否则定理结论不成立。例如：设X?[?1，1]是R中的闭区间，集值映射定义如下：
??(x)?(0.5)(?1?x?0)? ??(0)?{?0.5,0.5}??(x)?{?0.5}(0?x?1)?显然?是上半连续的，但没有x*??(x*).这是由于?(0)有两个点，不是凸集。
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