∴DA＝AM，DM＝∵∠DAM＝∠BAC，
DA，
∴∠DAB＝∠MAC，∵AB＝AC， ∴△DAB≌△MAC，
∴BD＝CM，∠ADB＝∠AMC＝45° ∴∠DMC＝90°， ∴DC2＝CM2+DM2， ∵CM＝DB，DM＝∴DC2＝DB2+2DA2．
②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．
AD，
则△AEG≌△AEB，∠GDE＝90°，可得EB＝EG，设DE＝x．EB＝EG＝4﹣x， ∵AD＝AM＝5， ∴DM＝5
，BM＝DG＝5
﹣4，
在Rt△DEG中，∵DG2+DE2＝EG2， ∴（5解得x＝故答案为＝
﹣4）2+x2＝（4﹣x）2，
． ．
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∠EOF＝90°，
（1）如图1，点E、F分别在线段AC和线段BC上．试确定EF、AE、BF之间的数量关系，并给出证明．
（2）如图2，点E、F分别在线段AC和线段CB的延长线上，且OP平分∠EOF交直线
CB于P点，试确定CP、PF、BF之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC，过P作PM⊥OC于点M，过F作FN⊥OB于点N，直线PM、FN交于D点，请判断DP、PM、NF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由“ASA”可证△CEO≌△BFO，可得CE＝BF，由勾股定理可得结论； （2）连接OC，EP，由“ASA”可证△CEO≌△BFO，可得BF＝CE，OE＝OF，由“ASA”可证△EOP≌△FOP，可得PE＝PF，由勾股定理可得结论； （3）由题意可证△PDF，△BNF均为等腰直角三角形，可得PF＝BF＝
NF，代入（2）的结论可求解．
DP，CP＝
PM，
【解答】解：（1）AE2 +BF2 ＝EF2， 理由如下：连接OC，EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点， ∴AO＝BO＝CO，AB⊥CO，∠ACO＝∠B＝45°， ∴∠COB＝∠EOF＝90°，
∴∠EOC＝∠FOB，且BO＝CO，∠ECO＝∠B＝45°， ∴△CEO≌△BFO（ASA） ∴CE＝BF， ∵AC＝BC， ∴AE＝CF， ∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2 +BF2 ＝EF2；
（2）CP2+BF2＝PF2； 理由如下：连接OC，EP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点， ∴AO＝BO＝CO，AB⊥CO，∠ACO＝∠ABC＝45°， ∴∠COB＝∠EOF＝90°，∠OCE＝∠OBF＝135°， ∴∠EOC＝∠FOB，且BO＝CO，∠OCE＝∠OBF， ∴△CEO≌△BFO（ASA） ∴BF＝CE，OE＝OF， ∵OP平分∠EOF，
∴∠EOP＝∠FOP＝45°，且OE＝OF，OP＝OP， ∴△EOP≌△FOP（ASA）， ∴PF＝PE，
∴CP2+BF2＝CP2+CE2＝PE2＝PF2； （3）PM2+NF2＝DP2．
理由如下：∵∠OBC＝∠NBF＝∠DPF＝45°， ∴△PDF，△BNF均为等腰直角三角形， ∴PF＝
DP，CP＝
PM，BF＝
NF，
由（2）可知CP2+BF2＝PF2， ∴2PM2+2NF2＝2DP2， 即PM2+NF2＝DP2．
