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个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
S?{rr?11k?t,t?1,2,4,7,10,r?2004,k?N}所以最少含有912个元素。
求所有自然数n(n?2)，使得存在实数
时，恰有
S?912，且S满足题目条件，
a1,a2,?,an满足：
{ai?aj}1?i?j?n}?{1,2,?,n(n?1)}.2
a?0,a2?1,a3?3；当n?4时，
【解】 当n?2时，a1?0,a2?1；当n?3时，1a1?0,a2?2,a3?5,a4?1。下证当n?5时，不存在a1,a2,?,an满足条件。 0?a1?a2???an，则
an?n(n?1).2
令
ai?aj?an?1a?1?an?1?a1?an?1或i?j所以必存在某两个下标，使得，所以nan?1?an?a2，即a2?1，所以
an?an?n(n?1)n(n?1),an?1?an?1an?22，a2?1。 或
（ⅰ）若
n(n?1),an?1?an?1a?2，有an?2?an?2或an?2?an?a2，2，考虑na?an?2，则an?1?an?2?an?an?1，导致矛盾，故只有a2?2.
即a2?2，设n?2考虑
an?3，有an?3?an?2或an?3?an?a3，即a3?3，设an?3?an?2，则
an?1?an?2?2?a2?a0，推出矛盾，设a3?3，则an?an?1?1?a3?a2，又推出矛盾，
所以
an?2?a2,n?4故当n?5时，不存在满足条件的实数。
an?n(n?1),a2?1a?2，a?2?an?1或an?2?an?a3，a?2，2，考虑n有n即3（ⅱ）若这时
a3?a2?a2?a1，推出矛盾，故an?1?an?2。考虑an?3，有an?3?an?2或
an?3?an?a3，即a3=3，于是a3?a2?an?an?1，矛盾。因此an?2?an?3，所以an?1?an?2?1?a2?a1，这又矛盾，所以只有an?2?a2，所以n?4。故当n?5时，不
存在满足条件的实数。
例9 设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组
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成五个元素的集合
Ai，i?1,2,?,20,Ai?Aj?2,1?i?j?20.求n的最小值。
【解】 nmin?16. 设B中每个数在所有
Ai中最多重复出现k次，
则必有k?4。若不然，数m出现k次（k?4），
A则3k?12.在m出现的所有i中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合
{1，a1,a2,m,b1}集合。20个
{1,a3,a4,m,b2},{1,a5,a6,m,b3}，其中ai?A,1?i?6，为满足题意的
ai必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以k?4.
Ai中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以n?16。当n?16时，如下
20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}， {1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}， {1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}， {2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}， {3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。 例10 集合{1，2，…，3n}可以划分成n个互不相交的三元集合{x,y,z}，其中x?y?3z，求满足条件的最小正整数n.
{x,y,zi},i?1,2,?,n,则1+2+…+
【解】 设其中第i个三元集为i3n??4zi,i?1n
n3n(3n?1)?4?zi83n83n?12i?1所以。当n为偶数时，有，所以n?8，当n为奇数时，有，
所以n?5，当n?5时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n的最小值为5。
三、基础训练题
2{1,x,x?x}，则实数x的取值范围是___________。 1．给定三元集合
2．若集合
A?{xax2?2x?1?0,a?R,x?R}中只有一个元素，则a=___________。
3．集合B?{1,2,3}的非空真子集有___________个。 4．已知集合
M?{xx2?3x?2?0},N?{xax?1?0}，若N?M，则由满足条件的实数
a组成的集合P=___________。
5．已知
A?{xx?2},B?{xx?a}，且A?B，则常数a的取值范围是___________。
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6．若非空集合S满足S?{1,2,3,4,5}，且若a?S，则6?a?S，那么符合要求的集合S有___________个。 7．集合
X?{2n?1n?Z}与Y?{4k?1k?Z}之间的关系是___________。
8．若集合A?{x,xy,xy?1}，其中x?Z，y?Z且y?0，若0?A，则A中元素之和是___________。 9．集合
P?{xx2?x?6?0},M?{xmx?1?0}，且M?P，则满足条件的m值构成的
集合为___________。 10．集合
A?{xy?2x?1,x?R?},B?{yy??x2?9,x?R}，则
A?B?___________。
1?S1?S;2a?S1?a11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。如果S??，
S中至少含有多少个元素？说明理由。 12．已知
A?{(x,y)y?ax},B?{(x,y)y?x?a},C?A?B，又C为单元素集合，求实
数a的取值范围。
四、高考水平训练题 1．已知集合
2．I?{1,2,3,4,5,6,7,8,9},A?I,B?I,A?B?{2},(C1A)?(C1B)?{1,9},
A?{x,xy,x?y},B?{0,x,y}，且A=B，则x?___________，
y?___________。
(C1A)?B?{4,6,8}，则A?(C1B)?___________。
3．已知集合
A?{x10?3x?x2?0},B?{xm?1?x?2m?1}，当A?B??时，实数m的取值范围是___________。
??1??a?A??x?1?,则a?2?ax?x?1???4．若实数a为常数，且___________。
22M?{m,m?1,?3},N?{m?3,2m?1,m?1}，若M?N?{?3}，则5．集合
m?___________。
6．集合
A?{aa?5x?3,x?N?},B?{bb?7y?2,y?N?}，则A?B中的最小元素是
___________。
2222A?{x?y,x?y,xy},B?{x?y,x?y,0}，且A=B，则x?y?___________。 7．集合
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A?{x8．已知集合___________。 9
x?1?0},B?{xpx?4?0}2?x，且B?A，则p的取值范围是
设
集
合，问：
．
A?{(x,y)y2?x?1?0},B?{(x,y)4x2?2x?2y?5?0},C?{(x,y)y?kx?b}是否存在k,b?N，使得(A?B)?C??，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，A?B含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）C?A?B且C中含有3个元素；2）C?A??。 11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，
Cr?{(x,y)x2?y2?r2}，若对
任何r?0，都有Cr?A?Cr?B，则必有A?B，证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题
1．已知集合
m2x?1A?{xx?0},B?{zz?,x?2},B??,且B?Amx?1，则实数m的取值范
围是___________。
2．集合A?{1,2,3,?,2n,2n?1}的子集B满足：对任意的x,y?B,x?y?B，则集合B中元素个数的最大值是___________。
3．已知集合P?{a,aq,aq},Q?{a,a?d,a?2d}，其中a?0，且a?R，若P=Q，则实数
2q?___________。
4．已知集合
A?{(x,y)x?y?a,a?0},B?{(x,y)xy?1?x?y}，若A?B是平面
上正八边形的顶点所构成的集合，则a?___________。 5
．
集
合
M?{uu?12m?8n?4l,m,l,n?Z}，集合
N?{uu?20p?16q?12r,p,q,r?Z}，则集合M与N的关系是___________。
}，集合A满足：A?M，且当x?A时，15x?A，则A中6．设集合M?{1,2,3,?,1995元素最多有___________个。 7．非空集合
A?{x2a?1?x?3a?5},B?{x3?x?22}，≤则使A?A?B成立的所有
a的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集A?B?C?{1,2,?,n}, 则满足条件的有序三元
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