三、简单曲线的极坐标方程 【基础知识导学】
1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程f(?,?)?0，并且坐标适合方程f(?,?)?0的点都在曲线C上，那么方程
f(?,?)?0叫做曲线C的极坐标方程。
1． 直线与圆的极坐标方程
O ① 过极点，与极轴成?角的直线
x
极坐标议程为
???(??R)或tan??tan?
②以极点为圆心半径等于r的圆的
极坐标方程为 ??r
【知识迷航指南】 例1求（1）过点A(2,（2）过点A(3,?4)平行于极轴的直线。
3?角的直线。 4?3)且和极轴成
解（1）如图，在直线l上任取一点M(?,?)，因为A(2,在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin?即?sin??为?sin???4)，所以|MH|=2?sin?4?2
2，所以过点A(2,)平行于极轴的直线
4?2。
（2）如图 ，设M(?,?)为直线l上一点。
A(3,?3)， OA=3，?AOB??3
5?7?3??5?由已知?MBx?3? ，所以?OAB?，所以?OAM??? ???431212124又?OMA??MBx???3??? 在?MOA中，根据正弦定理得 43? ?3?7?sin(??)sin412又sin7???6?23333? 将sin(?sin(?)?? ??)展开化简可得?(sin??cos?)?12434224所以过A(3,)且和极轴成
?33333?角的直线为：?(sin??cos?)??
224
〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。
例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。（2）从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。
解：（1）设p(?,?)为圆C上任意一点。圆C交极轴于另一点A。由已知 OA=8 在直角?AOD中OD?OAcos?，即 ??8cos?， 这就是圆C的方程。
（2）由r?OC?4。连接CM。因为M为弦ON的中点。所以CM?ON，故M在以OC为直径的圆上。所以，动点M的轨迹方程是：??4cos?。
〔点评〕 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例2中（1）为直译法，（2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。 例3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）y2?4x （2）???3 （3）?cos2?2?1 （4）?2cos2??4
解：（1）将x??cos?,y??sin?代入y2?4x得(?sin?)2?4?cos?化简得
?sin2??4sin?
y?y ∴ tan??3 化简得：y?3x(x?0) x3x?1?cos?（3）∵?cos2?1 ∴ ??1。即???cos??2 所以
22（2）∵tan??化简得 y2??4(x?1)。
（4）由?2cos2??4 即?2(cos2??sin2?)?4 所以 x2?y2?4 〔点评〕 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。
（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定??0,0???2?
x2?y2?x?2。
（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于 一般约定??0.故??〔解题能力测试〕 1 判断点(??3表示射线。若将题目改为???3(??R) 则方程化为：y?3x
15??,)是否在曲线??cos上。 2322．将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。 （1）y2?x2?2x?1?0；
（2）??1。
2?cos?
3．下列方程各表示什么曲线？
（1）y?a： 。 （2）??a： 。 （3）???： 。
〔潜能强化训练〕
１ 极坐标方程分别是??cos?和??sin?的两个圆的圆心距是（ ）
Ａ ２ Ｂ 2 Ｃ １ Ｄ
2 2(??R)的对称的点的坐标为 （ ） 6?2?11?A (3,0) B (3,) C (?3,) D (3,)
326２ 在极坐标系中，点(3,?2)关于???3在极坐标系中，过点(3,A ?cos???3)且垂直于极轴的直线方程为（ ）
3333 B ?sin?? C ??cos? D ??sin?
22222(??0) 表示的曲线是 （ ） 24 极坐标方程 cos??A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 ?sin(??6 圆???4)?2，则极点到该直线的距离是： 。 22(cos??sin?)的圆心坐标是： 。
7 从原点O引直线交直线2x?4y?1?0于点M，P为OM上一点，已知ODOM?1。 求P点的轨迹并将其化为极坐标方程。
〔知识要点归纳〕
1 直线，射线的极坐标方程。
2 圆的极坐标方程
三、简单曲线的极坐标方程 〔解题能力测试〕
1、在 2、（1）??2?cos??1?02(2)3x2?4y2?2x?1?0
3、（1）在直角坐标下，平行于X轴的直线。（2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为a的圆。（3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为α的射线。 〔潜能强化训练〕 1、D 2、D 3、A 4、D 5、
226.(1,)
4?7、以O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为2?cos??4?sin??1?0，
???0??????0?知?设M(?0,?0).P(?,?)则2?0cos?0?4?0sin?0?1?0又?1
?????1?0?0???代入得：?21cos??41?sin??1?0,???2cos??4sin?
