专题五 数 列
试卷名称 全国新 课标卷 命题范围和内容 等比数列，等差数列、数列的通项公式及前n项和(2013卷Ⅰ)；等差数列、等比数列、数列的通项及求和(2013卷Ⅱ)；数列求和，等比数列求公比(2012)；等比数列及数列的通项公式(2011) 等差数列，数列的通项公式及前n项和(2013)；等差数列通项公式及数列求和(2012)；数列通项公式及数列求和(2011) 等比数列，数列的通项公式与证明不等式(2013)；等比数列求值，两数列前n项和求数列的通项公式(2012)；等比数列公比，数列通项公式及证明两数列的关系(2011) 等比数列与不等式相结合，等差数列与等比数列(2013)；等比数列与概率相交汇，数列综合应用(2012)；等差、等比数列的性质，数列的通项公式与前n项和(2011) 等比数列与等差数列、数列的通项公式与证明不等式(2013)；数列与程序框图相交汇，数列通项公式、前n项和公式(2012)；等差数列求和，等比数列(2011) 等差数列的单调性，等比数列的递增性与求和(2013)；等差数列，等比数列，数列与三角函数相交汇(2012)；等差数列求项的值(2011) 山东卷 广东卷 江苏卷 天津卷 辽宁卷 浙江卷 福建卷 试卷名称 安徽卷 等差数列的通项与求和、等比数列(2013)；数列通项公式 及求和(2012)；求数列最大项的项数，数列通项公式(2011) 等差数列、等比数列及不等式(2013)；数列求和，数列通项公式(2012)；等差数列通项公式，知和求项数(2011) 命题范围和内容 等差数列，数列与函数相结合、数列的通项及前n项和(2013)；等比数列(2012)；数列求和，数列通项公式及数列求和(2011) 等比数列的公比与其前n项和，新定义数列(2013)；等比数列，等差数列通项及求和(2012)；等比数列的公比及求和(2011) 等差数列前n项和的推导、等比数列定义的判定(2013)；数列求和、证明数列是等差数列(2012)；数列的实际应用(2011) 北京卷 陕西卷 湖南卷 新定义数列，数列的通项公式及前n项和(2013)；数列的实际应用(2012，2011) 等比数列的应用问题、数列的通项公式及前n项和，等差数列(2013)；等比数列，数列通项公式及求和(2012)；等差数列，等比数列求参数的值及通项公式(2011) 等比数列与等差数列、数列的通项公式及与求和有关的不等式问题(2013)；新定义数列，数列的通项公式、求和及应用能力(2012) 等比数列的首项、公比与其前n项和、等差中项(2013) 等差数列，数列的通项公式及前n项和(2013) 江西卷 湖北卷 四川卷 重庆卷 1.等差数列和等比数列这两个基本数列是必考知识．这类考题既有选择题、填空题，又有解答题，基本上是容易题、中等题．
2．求通项及前n项和问题是基本题型，应掌握等差数列、等比数列及可以转化为等差数列、等比数列的求和问题，还应该掌握一些特殊数列的求通项、求和问题．
3．数列中Sn与an的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意Sn与an的关系．从近两年的试题来看，对“递推公式”的考查有所淡化．
4．数列与新增知识点(如程序框图)的综合题应引起重视．
5．有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点．今后在这方面还会体现的更突出．
第22讲 等差数列与等比数列
1．等差数列
(1)等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)等差中项
a＋b
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即A＝2或2A＝a＋b. 【温馨提示】在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项．
(3)等差数列的判定方法
①定义法：对于数列{an}，若an＋1－an＝d(常数)，则数列{an}是等差数列. ②等差中项：对于数列{an}，若2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}是等差数列． (4)等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an＝a1＋(n－1)d. 【温馨提示】该公式整理后是关于n的一次函数．
(5)等差数列的前n项和公式 ①Sn＝
n（a1＋an）n（n－1）
2；②Sn＝na1＋2d.
【温馨提示】对于公式②整理后是关于n的没有常数项的二次函数．
(6)等差数列的性质
①等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，公差为d，则有an＝am＋(n－m)d.
②对于等差数列{an}，若n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.
③若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列．如下图所示：
a1＋a2＋a3＋?＋ak,\\s\\do4(Sk))＋ak＋1＋?＋a2k,\\s\\do4(S2k－Sk))＋a2k＋1＋?＋
a3k,\\s\\do4(S3k－S2k))S3k
④等差数列{an}的前2n－1项的和为S2n－1＝(2n－1)an.
2．等比数列
(1)等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
Gb
也就是，如果G是a，b的等比中项，那么a＝G，即G2＝ab. (3)等比数列的判定方法
an＋1
①定义法：对于数列{an}，若an＝q(q≠0)，则数列{an}是等比数列. 2
②等比中项：对于数列{an}，若anan＋2＝an＋1，则数列{an}是等比数列． (4)等比数列的通项公式
－
如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为an＝a1qn1. (5)等比数列的前n项和 a1－anqSn＝， q≠1. (6)等比数列的单调性
a1a1
通项公式的变形：an＝qqn，当q≠1时，其可看成一个常数q与一个指数函数y＝qn
的乘积. 等比数列{an}的单调性由a1, q决定．
①q>1，a1>0或0
①等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等比数列的第m项，
－
公比为q，则有an＝amqnm.
②对于等比数列{an}，若n＋m＝u＋v，则an·am＝au·av.
③数列{an}是等比数列，当q≠－1或n为奇数时，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列．如下图所示：
a1＋a2＋a3＋?＋ak,\\s\\do4(Sk))＋ak＋1＋?＋a2k,\\s\\do4(S2k－Sk))＋a2k＋1＋?＋
a3k,\\s\\do4(S3k－S2k))S3k
【温馨提示】当公比q ＝－1且n为偶数时，因为Sk＝0，所以Sk，S2k－Sk，S3k－S2k
不成等比数列；当q≠－1或n为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列，但等式(S2k－
Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)总成立.
,一、等差数列的基本概念)
“基本量法”是解决等差数列相关问题的常用方法．等差数列中，a1，an，n，d，Sn “知三求二”，体现了方程的思想．数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求、性质的应用是历年高考的必考内容，此类题目以容易题或中档题为主，多以选择题、填空题的形式出现．
(2012福建卷，2)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【思维导图】由等差中项的性质→求a3的值→由定义求d的值
a1＋a5
【解答过程】由等差中项的性质知a3＝2＝5，又∵a4＝7，∴d＝a4－a3＝2，故选B.
【答案】B
【攻略秘籍】数列的通项公式与前n项和公式联系着五个量，“知三求二”是最基本的运算，其中通项公式是解决等差数列的基础与核心，通项公式与前n项和公式由首项和公差确定，在求解时，一般要运用方程思想．
