将t?0和
t??2?分别代入上式，得
????p1?m?bj,p2??m?ai,
????p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)
则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为
??????I??p?p2?p1??m?(ai?bj)
?1vm?s02.15 一颗子弹由枪口射出时速率为，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，
试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得
(2)子弹所受的冲量
t?ab
t1I??(a?bt)dt?at?bt202
将
t?ab代入，得
a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
2.16 一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为
Ia2m??v02bv0
2kT2Tv+m, v-km
证明: 设一块为m1，则另一块为m2，
m1?km2及m1?m2?m
于是得
m1?kmm,m2?k?1k?1 ①
又设m1的速度为v1, m2的速度为v2，则有
T?1112m1v12?m2v2?mv2222 ②
mv?m1v1?m2v2 ③
联立①、③解得
v2?(k?1)v?kv1 ④
将④代入②，并整理得
2T?(v1?v)2km
9
于是有 将其代入④式，有
v1?v?2Tkm
v2?v?2kTm
又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取
v1?v?证毕．
2kT2T,v2?v?mkm
????????F?7i?6jNr??3i?4j?16km2.17 设合．(1) 当一质点从原点运动到时，求F所作
的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能
的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
???????∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
??21?24??45J
A45P???75w?t0.6(2)
?Ek?A??45J
(3)由动能定理，
2.18 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同．
解: 以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为
题2-13图
f??ky
第一锤外力的功为A1
kss02 ①
式中f?是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt?0时，f???f． 设第二锤外力的功为A2，则同理，有
A1??f?dy???fdy??kydy?1A2??kydy?1y212kky2?22 ②
由题意，有
1kA2?A1??(mv2)?22 ③
12kkky2??222 即
10
所以， y2?于是钉子第二次能进入的深度为
2
?y?y2?y1?2?1?0.414cm
2.19 设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为EP(r)?k/r, 试求质点所受保守力的大小和方向． 解:
?方向与位矢r的方向相反，即指向力心．
nF(r)?dE(r)nk??n?1drr
2.20 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端 一重物C，C的质量为M，如题2.20图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性
势
能之比．
解: 弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有
题2.20图
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
所以静止时两弹簧伸长量之比为
FB?k2?x2 ?x1k2??x2k1
弹性势能之比为
Ep1Ep22.21 (1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98310kg，地球中心到月球中心的距离3.84310m，月球质量7.35310kg，
6
月球半径1.74310m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少? 解: (1)设在距月球中心为r处
24
8
22
1k1?x12k?2?21k12k2?x22
F月引?F地引，由万有引力定律，有
GmM月r2?G11
mM地?R?r?2
经整理，得
r?M月M地?M月R
7.35?1022=
5.98?1024?7.35?1022?3.48?108
6?38.32?10m
则P点处至月球表面的距离为
(2)质量为1kg的物体在P点的引力势能为
h?r?r月?(38.32?1.74)?106?3.66?107m
M地EP??G?G?R?r? rM月7.35?10225.98?1024?11??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??107 3.83?107?1.28?106J
11
2.22 如题2.22图所示，一物体质量为2kg，以初速度0＝3m2s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
-1
v12?12?kx??mv?mgssin37??2?2? 12mv?mgssin37??frs2k?12kx2
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
?frs?k?1390N?m-1
题2.22图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o?代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
12kx2
h??s?sin37o?0.84m
12
