∴∠2=∠3， ∠1=∠3， ∴ AE=BE. 在Rt△EBD中， BE>BD， ∴AE>BD.
[拓展] 若AC交BE于G，请想一想，在什么情况下线段BE、BG、FG有相等关系？
例5.[2001.吉林省]如图7.4-1，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G. （1）求⊙O的半径R；
（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α、β、90三者之间的关系式（只需写出一个），并证明你的结论.
[特色]此题第二问设计为开放性问题，它立意考查学生分析、观察、比较、归纳能力. [解答] （1）连结OE，则OE⊥AD.
∵四边形是矩形， ∴∠D=90, OE∥CD,
??∴AC=
AD2?DC2=82?6215. 4=10.
∵△AOE∽△ACD， ∴ OE∶CD=AO∶AC， ∴ R∶6=(10-R) ∶10， 解之得： R=
（2）∵四边形是圆的内接四边形，∴∠EFB=∠EGC， ∵∠EGC=90+β， ∴α =90+β 或 ∵ β<90， α =∠EGC>90， ∴ β < 90< α.
[拓展]比较角的大小时，要善于发现角与角之间的关系，判断角是锐角还是直角、钝角. [中考动态前瞻]
本节考查的题型常以填空、选择、解答题的形式出现，重点考查对圆的基本慨念、基本性质的理解及运用.特别是垂径定理及推论、圆周角定理及推论的运用是考查的重点内容. 对圆内接四边形的性质进行考查，主要以填空题、选择题、计算题、证明题的形式出现，利用圆内接四边形的性质主要是得到角相等或互补.一般不会考较复杂的计算、证明.
?????初三数学总复习教案－直线与圆的位置关系
知识结构
??三角形的内切圆?? ?弦切角?切线的判定和性质直线和圆的位置关系??切线长???和圆有关的比例线段?重点、热点
利用切线的性质及判定、切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理进行计算和证明. 目标要求
1.掌握直线和圆的位置关系. 2.掌握圆的切线的判定和性质.
3.掌握并会运用切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理. 4.了解分情况证明数学命题的思想和方法. 【典型例析】
例1.[2002.包头市]如图7.2-1，AB是⊙O的直径，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB， （1） 求证：⊙O与CD相切； （2） 若CD=3，求AD?BC.
[特色]本题来源于教材，主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识.
[解答](1)过O点作OE⊥CD于E.
∵ AD⊥CD， BC⊥CD， ∴ AD∥OE∥BC，
又∵AO=BO， ∴DE=CE， ∴ OE=
12(AD+BC). 而AB=AD+BC，
∴ OE=OA， 而OE⊥CD， ∴⊙O与CD相切. (2)连结AE、BE，∵⊙O与CD相切，
∴ OE⊥CD ， ∠ BAE=∠BEC. 而∠ BAE=∠ OEA， ∠ OEA+∠ DEA=90， ∴∠ DEA+∠BEC=90. 又∵AD⊥CD， ∴∠ DEA+∠ DAE=90，
∴∠ DAE=∠BEC， ∴ △AED∽△EBC， ∴AD?EC=DE?BC， 即AD?BC=DE?EC=
???19CD2=24.
[拓展]证明圆的切线有两种方法（1）利用圆心到直线的距离：当已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，常可过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径；（2）利用切线的判定定理：当已知直线和圆有公共点时，常连结圆心和公共点.证明直线垂直于此半径.求两线段的积，一般考虑相似三角形或与圆有关的比例线段.
例2.[2002.重庆市] 如图7.3-1⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于（ ）. A
45 B
54 C
34 D
56
[特色]本题考查内心的性质.
[解答] 过点O半径OE,则OE∥CD,AE∶AC=OE∶CD,设半径为R,则（4-R）∶4=R∶1,解之得R=[拓展]直角三角形内切圆的半径OE=CE.你知道为什么吗？
例3.[2002.济南市]如图7.2-2，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点.
（1） 当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？ （2） 当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD
245,选A.
=DE?DF，为什么？
[特色]本题是一道条件开放题，主要考查分析、归纳和发散思维能力.
[解答]（1）当PC=PF（或∠PCF=∠PFC或△PCF为等边三角形）时，PC与⊙O相切. ∵ PC=PF ，∠ PCF=∠PFC=∠AFH，
∵ DE⊥AB于点H，
∴∠OCA+∠PCF=∠PAF+∠AFH=90， 即 OC⊥PC， ∴ PC与⊙O相切.
（2）当点D是弧AC的中点时，AD=DE?DF. 证明： ∵AD＝CD， ∴∠DAF=∠DEA，
又∵∠ADF=∠EDA， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD∶DE=DF∶AD， 即 AD=DE?DF.
22?
[拓展] 要善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻同.
例3.[2001.宜昌市]如图7.2-3，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径⊙O的与斜边AB交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E. （1） 求证：BE=DE；
（2） 延长DE与AC的延长线交于点F，若DF=
3，求△ABC的面积
（3） 从图(1)中，显然可知BC
还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F，且DF=
''3，请再求出△ABC的面积.
[特色]本题设计了一个动态的问题情景，要求运用动与静、变与不变的辨证关系进行探索、发现、类比、推理.从而获得结论.
[解答](1)连结CD， 则CD⊥AB . ∴∠B+∠BCD=90， 而 ∠BDE+∠CDE=90， ∠BCD=∠CDE， ∴
∠B=∠BDE， ∴ BE=DE.
（2）OD,由FD=FC?FA 可求得CF=1，∴∠DOC=60,∴∠A=30再解RtABC，得S?ABC=
'2????23（平方单位）； 3（3） 图7.2-3-（2）中，连结DC、DO，易证DE∥AC；在图7.2-3-（3）中仿照（2）同理可求得FA=1, S?ABC=2（平方单位）.
[拓展] 此题还有其它解题方法，请你试一试. [中考动向前瞻]
3本节主要考查直线与圆的三种位置关系、切线的判定、切线的性质、切线长定理及与圆有关的比例线段。考查的题型以计算和证明为主，也有可能以综合题的形式考查，但不会考查繁难的证明和计算。要求在解题过程中不因循守旧，不墨守成规，通过积极思考，创新求索，优化解题策略，活用解题方法.
