第8模块 第6节
[知能演练]
一、选择题
1．椭圆x2＋my2＝1的离心率为
3，则m的值为 2
( )
1
A．2或
21
C.或4 4
2
2
B．2 1D. 4
2
y2
解析：∵x＋my＝1，即x＋＝1是椭圆，∴m>0.
1m
11
当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，c2＝a2－b2＝1－，此时m>1，
mmc
由e＝＝a
c2＝a2131－＝?m＝4； m2
11
当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，此时0 mmc 由e＝＝a答案：C x2y2 2．动点P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个 ab焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的 ( ) A．椭圆 解析：如右图所示，设三个切点分别为M、N、Q， ∴|PF1|＋|PF2|＝ |PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1M|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a， ∵|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴C点轨迹为直线． B．双曲线的右支 D．一条直线 c＝a221－1m31 ＝?m＝.故选C. 124m C．抛物线 答案：D 3．以坐标轴为对称轴，离心率为3 且经过点(2,0)的椭圆方程是 2 ( ) x22 A.＋y＝1 4 x22x2y2 B.＋y＝1或＋＝1 4164 2x222yC.＋y＝1或x＋＝1 44 x22y2x2 D.＋y＝1或＋＝1 4164 解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x轴时，设椭圆方x2y2 程为：2＋2＝1(a>b>0)， ab ?由?20 ?a＋b＝1， b＝a 2222a2－c2＝a2c21－2＝a 1－(321)＝，22 ??a＝2，y2x2 解得：?(2)当焦点在y轴时，设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由 ab?b＝1，? ? ?02 ?a＋b＝1， b＝a 2222a2－c2＝a2c21－2＝a 1－( 321)＝，22 ??b＝2， 解得：?故选D. ?a＝4，? 答案：D x2y2→→4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当PF2·PA1 43→→ 取最小值时，|PF2＋PA1|的值为 ( ) A．22 C．23 B．3 D.13 解析：由已知得：a＝2，b＝3，c＝1，所以F2(1,0)， →→ A1(－2,0)，设P(x，y)，所以PF2·PA1＝(－2－x)(1－x)＋y2，又点P在椭圆上，所以y2＝3 3－x2，代入上式可得： 4 111→→ PF2·PA1＝(x＋2)(x－1)＋y2＝x2＋x＋1＝(x2＋4x＋4)＝(x＋2)2， 444 →→→→ 显然当x＝－2时PF2·PA1取得最小值，所以P(－2,0)，容易知|PF2＋PA1|＝3. 答案：B 二、填空题 5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________． x2y2 解析：设椭圆的标准方程是2＋2＝1(a>b>0)． ab ?a＝2b，? 由题意知：?c＝23， ??a2＝b2＋c2 ?a＝4， ? 解得?b＝2， ??c＝23. x2y2 ∴标准方程为＋＝1. 164x2y2 答案：＋＝1 164 x2y2 6．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a aba2 为半径作圆M.若过点P(，0)所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 c__________． 解析：如右图，切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形， a2c2故＝2a，解得e＝＝. ca2答案： 2 2 三、解答题 7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6； (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆2 的长轴长是6，且cos∠OFA＝. 3 解：(1)如下图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18. x2y2 故所求的椭圆的方程为＋＝1. 1892 (2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝， 3∴A不是长轴的端点(是短轴的端点)． c2 ∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴＝. 33∴c＝2，b2＝32－22＝5. x2y2x2y2 ∴椭圆的方程是＋＝1或＋＝1. 9559 8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关． x2y2 解：(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab|PF1|＝m，|PF2|＝n. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos60°. ∵m＋n＝2a， ∴m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn， ∴4c2＝4a2－3mn.即3mn＝4a2－4c2. m＋n22又mn≤()＝a(当且仅当m＝n时取等号)， 2c211 ∴4a－4c≤3a，∴2≥，即e≥. a42 2 2 2 1 ∴e的取值范围是[，1)． 24 (2)证明：由(1)知mn＝b2， 313 ∴S△PF1F2＝mnsin60°＝b2， 23即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
