∴u-v=a-b ∴
(2) ?={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }
38.现取x，有x?A ?
?
41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉 A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d
(1) 证明R为等价关系. (2) 求R导出的划分. (1)证明：? a+b=a+b ∴ 任意的 任意的 ??∴R是 A×A上的等价关系 (2)?={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4> 42.x,x?A ? ? 44.(a)偏序集 (b)偏序集 (c)偏序集 45.(a)A={a,b,c,d,e,f,g}, ={ （1）极大元e,f；极小元a,f；没有最大与最小元。 （2）极大元a,b,d,e；极小元a,b,c,e；没有最大与最小元。 口 = 返回 (b)A = {a,b,c,d,e,f,g},R 第八章 函数 1． 本章自测答案 1设f :N?N,且 ?1，若x为奇数? f (x)=?x 若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,?})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1}, f ({0,2,4,6,?})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 2. = { , ,? } = {<1,a>,<2,b>}, = {<1,b>,<2,b>}, = {<1,c>,<2,b>}, = {<1,a>,<2,c>} = {<1,b>,<2,c>} = {<1,c>,<2,c>} = {<1,a>,<2,a>}, = {<1,b>,<2,a>}, = {<1,c>,<2,a>}, 3.(1)双射，反函数 (2)双射，反函数 =,f({8}=|8|),：R→ R， ({4}={4}； （x）= logx, ({1}) = {2}, ({1,2}) ={0,1}； (3)单射，({5}) = {<5,6>}, (4)单射，({2,3}) = {5,7}, (5)单射，({-1,2}) = {1,2}, (6)单射，((0,1)) = (1/4,3/4), (8)单射，((0,1)) = (1,+∞), ({2,3}) = {2}； ({1,3}) = {0,1}； ({1}) = {-1,1}； ([1/4,1/2]) = [0,1/2]； ({2,3}) = {1/2,1/3}. 4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射，也不满射. 5.(1) 为真，其余都为假. 6.对于给定的A，B和f，判断f是否为从A到B的函数f： →B。如果是、 说明f是否为单射、 满射、 双射的。 (1)A = B = f (x) = x 2 + 1。f (x) = 1 ?x。f (〈x，y〉) = x ?(y+1)...() 4A = {1，2，3}，B = {p、 q、 r}，f = {〈1、 q〉、 〈2、 q〉、 〈3、 q〉}。() 5A = B = f (x) = 2 x。(6) A = B = ? f (〈x，y〉) = 〈y + 1，x + 1〉。(7) A = ?，B = f (〈x，y〉) = x 2 + 2y2。x1。(9) A = ?，B = f (〈x，y，z〉) = x + y ?z。 7.(1) 结果不唯一，={ (4) 存在单射还书的充要条件是m ≤ n ，存在满射函数的充要条件是m ≥ n, 存在双射函数的充要条件是m = n . 9.双射函数与单射函数都是n!个 10.(1)不是单射，不是满射，也不是双射； (2){<1,1>,<0,2>,<2,0>}; (3){3,5,7} 11.确定f是否为从X到Y的函数、 并对f： X →Y指出哪些是单射、 哪些是满射、 那些是双射的。 (1)X = Y = 为实数集，f (x) = x 2-x;(2) X = Y = f (x) = ↗?x ；38 1 ；x + (4) X = Y = = {x | x ?，x > 0}，f (x) = x + 1 ；x ?1 ?x (5) X = Y = f (x) = ? ?x ?1 x?1 .12.设f: S→T，证明。 (1) f (a ∩ B) ?f (A) ∩ f (B)、 其中A、 B ?S。(2) 举出反例说明等式f (a ∩ B) = f (A) ∩ f (B) 不是永远为真的。(3) 说明 对于什么函数、 上述等式为真。G： 13.设A为非空集合，R为A上的等价关系，→A / R 为自然映射。(1) 设R为整数集合上的模n相等关系、 求g(2)。(2) 说明g的性质 (单射、 满射、 双射)。(3) 说明在什么条件下、 g为双射函数。 14.设S为集合，且?A，?T表示T的特征函数，B是S的子集，A = {从中、 1〉、 〈b、 1〉、 〈c、 0〉、 〈d、 0〉}，?B = {从中、 0〉、 〈b、 1〉、 〈c、 0〉、 〈d、 1〉}，求?AB。∩ 15.15.设A={1，2，3，4}，A1 = {1，2}，A2 = {1}，A3 = ?，求A1，A2、 A3和A的特征函数?A1、 ?A2、 ?A3和?A。 16.设A={a、 b、 c}。R为A上的等价关系，且 R = {从中、 b〉、 〈b、 a〉} ∪IA 求自然映射g: A→A/R. 17.fg(x)=2x +7, bf(x) =2x +4, ff(x) =x +6, gg(x) =4x +3, hf(x)=x/2 +3, gh(x) = x +1/2, fh(x) =(x +5)/2 gh f(x) =x +7/2 18.ff(n) =n+2, gf(n)=2n+1, fg(n)=2n+2, gh(n) =0 hg(n)=, hgf(n)=. 19.(1)gf(x)=x+8x +14, fg(x)=x+2 (2)都不是单射，也不是满射和双射。 (3)g和h有反函数，g:R→R,g(x) = x–4; h:R→R,h(x)=20． (1)fg:N→N, fg(x) (2)不是单射，不是满射，也不是双射。 21.(1)单射，假设f(因为<0,0>ran (2)不存在反函数 (3)ran={ 23.设f1、 f2、 f3、 f4为实数集到的函数、 且 ?) = f( )，那么< , +1> = <,+1>。根据有序对相等的条件得=，因此f是单射的，但是f不是满射的， 1、 x ≥0 f1 (x) = ? ??1，x?0 f2 (x) = x，，??1，x为整率、 ?1，否则 f4 (x) = 1。在上定义二元关系E 我、 ?x、 y?、 〈x、 y〉?E 我 ?f (x) = f (y)、 则E i是上的等价关系、 名称为f i导出的等价关系、 求商集/E 我 = 1，2，3，4。 24.这些函数都是不唯一的，以下只是一个可能的结果。 (1)f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>} (2)f(x) = 2x (3)f(x) = ｜x｜ - 1 (4)f(x) = e 返回 第九章 集合的基数 本章自测答案
