§3 函 数概念
2
13
v 与 v = 1 - x( 它们的定义域取为各自的存在域) 相继复合而得的复合函数为
y= sin
*
1 - x, x ∈ [ - 1 , 1].
2
2
注当且仅当E≠1?(即D∩g( E)≠1?)时,函数f与g才能进行复合.
例如 , 以 y = f ( u) = arc sin u , u∈ D = [ - 1 , 1 ] 为外函 数 , u = g( x ) = 2 + x, x ∈E = R 为内函数, 就不能进行复合 .这是因为外函数的定义域 D = [-1 , 1 ] 与 内函数的值域 g( E ) = [ 2 , + ∞) 不相交 .
五 反函数
函数y=f(x)的自变量x与因变量y的关系往往是相对的.有时我们不仅 要研究y随x而变化的状况,也要研究x随y而变化的状况.对此,我们引入反 函数概念.
设函数
y= f ( x ) , x∈D
满足: 对于值域 f ( D)中的每一个值 y, D 中有且只有一个值x 使得
f (x)=
y,
(3)
则按此对应法则得到一个定义在 f ( D) 上的函数, 称这个函数为 f 的反函数, 记 作
f : f ( D) → D,
y 組 x
或
x = f ( y) , y ∈ f (D).
- 1 - 1
(4)
注1函数 f 有反函数, 意味着 f是D 与 f ( D)之间的一个一一映射 .我们 称 f - 1 为映射 f的逆映射, 它把集合 f ( D) 映射到集合 D, 即把 f ( D)中的每一 个值 f ( a) 对应到 D 中唯一的一个值 a .这时称 a 为逆映射 f 下 f ( a) 的象, 而 f ( a ) 则是 a 在逆映射f 下的原象 .
从上述讨论还可看到, 函数 f 也是函数 f 的反函数 .或者说, f 与 f 互为 反函数 .并有
f ( f ( x ) ) ≡ x , x ∈ D , f ( f ( y) ) ≡ y , y ∈ f ( D) .
注2在反函数f的表示式(4)中,是以y为自变量,x为因变量.若按习 惯仍用x作为自变量的记号,y作为因变量的记号,则函数(3)的反函数(4)可 改写为
y= f ( x ) , x ∈ f (D).
例如,按习惯记法,函数y= ax+ b(a≠0),y= a(a>0,a≠1)与y=sin
x
- 1
-1
- 1 - 1
- 1
- 1
- 1
- 1
(5) x,
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第一章 实数集与函数
ππx∈ - , 的反函数分别是
2 2
x - b y=
, y = log a x 与 y = arcsin x. a -1
应该注意,尽管反函数f的表示式(4)与(5)的形式不同,但它们仍表示同 一个函数,因为它们的定义域都是f(D),对应法则都是f,只是所用变量的 记号不同而已.
六 初等函数
-1
在中学数学中, 读者已经熟悉基本初等函数有以下六类: 常量函数 y = c ( c 是常数 ) ; 幂函数 y = xα(α为实数 ) ; 指数函数 y = a( a > 0 , a≠ 1) ; 对数函数 y = log a x ( a > 0 , a≠1 ) ;
三角函数 y = sin x( 正弦函数 ) , y = cos x ( 余弦函数 ) ,
y = tan x( 正切函数) ,y = cot x( 余切函数) ; 反三角函数
y = arcsin x( 反正弦函数) ,y = arccos x ( 反余弦函数) , y = arctan x ( 反正切函数) ,y = arccot x( 反余切函数).
这里我们要指出,幂函数y=x和指数函数y=a都涉及乘幂,而在中学 数学课程中只给出了有理指数乘幂的定义.下面我们借助确界来定义无理指数 幂,使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂,并保持有理指数幂的基本性质.
定义 2 给定实数 a > 0 , a≠1 .设 x 为无理数, 我们规定
α
x
x
a=
x
sup{a
