江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试
数学试题
2020．4
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案
填写在答题卡相应的位置上．） ．．．．．．．．．
1．已知集合A＝{1，4}，B＝{a﹣5，7}．若AIB＝{4}，则实数a的值是 ． 2．若复数z满足
z?2?i，其中i是虚数单位，则z的模是 ． i3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨．
4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ．
5．“石头、 剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ． 6．在△ABC中，已知B＝2A，AC＝3BC，则A的值是 ．
7．在等差数列?an?(n?N)中，若a1?a2?a4，a8??3，则a20的值是 ． 8．如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则
?V1?V2的值是 ． Vx2y29．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，
ab过F作x轴的垂线交双曲线于点P，Q．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ．
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线y＝2x上，过点P作圆C：(x﹣4)2＋y2＝8的一
条切线，切点为T．若PT＝PO，则PC的长是 ．
1
11．若x＞1，则2x?91的最小值是 ． ?x?1x?1x12．在平面直角坐标系xOy中，曲线y?e在点P(x0，e0)处的切线与x轴相交于点A，
其中e为自然对数的底数．若点B(x0，0)，△PAB 的面积为3，则x0的值是 ． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME—7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化
uuuuuruuuuur而成的（如图(2)），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，则A6A7?A7A8的值
是 ．
x
??log2x?a, 0?x?414．设函数f(x)??，若存在实数m，使得关于x的方程f(x)?m
??f(8?x), 4?x?8有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字．．．．．．．
说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
rr?在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(cos?，sin?)，b＝(cos(?＋)，sin(?＋
4??))，其中0＜?＜． 42rrr（1）求(b?a)?a的值；
rrrr（2）若c＝(1，1)，且(b?c)∥a，求?的值．
16．（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．求证：
（1）PQ∥平面ABC； （2）PQ⊥平面ABB1A1．
2
17．（本题满分14分）
22xy如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x﹣3)2＋y2＝1，椭圆E：2?2?1(a
ab＞b＞0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当AN＝
12AM时，求直线l的方程． 7
18．（本题满分16分）
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2：1的两部分（点D，E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM （如图）．设AD＝x，DE＝y1，AM＝y2（单位：百米）．
（1）分别求y1，y2关于x的函数关系式；
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
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