《概率论小论文》 第五篇 《复变函数与积分变换与高等数学相关内容的异同》 文章编号:XXXX—XXXX（2014）01 0005 03
复变函数与积分变换与高等数学相关内容
的异同
管会超1
（中国民航大学飞行器动力工程，河北，保定，120141607）
摘要：复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论，概念和方法是实变函
数在复数域的推广。但我们也要明白它与实变函数的许多不同之处，更好的学习它们的相同于不同，真正的掌握知识提高自己的能力，为以后解决实际问题而运用。
关键词：复函数，极限，实函数，留数，洛朗级数，傅里叶、拉普拉斯变换，解析函数
中图分类号：TU973+.255 文献标识码：C
Similarities and differences ofcomplex functionandintegral
transformandhigher mathematicsrelated content
GUAN huichao
(China Civil Aviation University ofaircraft engineering, Hebei, Baoding, 120141607)
Abstract：ContactsComplexfunctionsandintegral transformandmathematicsarevery close,
complex functionofmany theories, concepts and methodsarereal variable functionin
promotingcomplex field. But we alsounderstand thatit's a lotdifferent from thereal variable function, the bettertheylearnthe sameina different, truly masterthe knowledgeto improve theirabilityto solve practicalproblemsfor futureuse.
Keywords：Complex functions, limits, real function, leaving few, Laurent series, Fourier,
Laplace transform, analytic function
引言：
在大学的科目中有许多科目是紧紧相连的，这些联系使得各科之间使学习起来有连贯性，但是在相同之中又存在着不同点，本文就复变函数与积分变换和高等数学中的异同进行讨论，分别从复变函数和高等数学之间来进行叙述。
上与一元函数的极限一致。 即：
定义[1]:设A为复常数，函数w?f(z)在点
z0的去心邻域0?z?z0??内有定义。如
果对于任意给定的整数?，总可以找到相应的整数?(???)，使得当0?z?z0??时恒有f(z)?A??，则称A为f(z)当
1、复变函数的极限和连续性
复变函数的极限:
复变函数极限的定义在叙述形式
z?z0z?z0时的极限。记作
limf(z)?A或f(z)?A(z?z0)
《概率论小论文》 第五篇 《复变函数与积分变换与高等数学相关内容的异同》
不同点：1、在复变函数中用圆域代替了一元函数中的邻域。2、复变函数中
f(z)?A(z?z0)意味着当点z在该邻域
内沿任何方向，以任意路径和方式趋于z0时f(z)都趋于同一个常数A。
（显然这比一元函数极限定义的而要求要苛刻） 复变函数的连续性：
定理[2]：函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点
z0?x0?iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处连续。
不同点：复变函数中要比一元函数中多一个函数的限制。
复变函数与高等数学中的关于极限的求导
法则，连续性运算法则都相同。 2、复变函数的积分：
复函数积分性质与一元实函数定积分有类似的性质，如
?c?f(z)dz???c?f(z)dz，?c?f(z)dz???cf(z)dz，
?c[g(z)?f(z)]dz??cf(z)dz??cg(z)dz
高等数学中有与积分路径无关的条件，即格林公式
?P?Q?y??x，在复变函数积分中也有相似的定理，即柯西积分定理[3]： 若函数f(z)在单连通域D内解析，则f(z)沿D内任意曲线积分（可以不是简单的）z0积分为零，即
??cf(z)dz?0。
3、解析函数：（解析函数的高阶导数）[4]
若函数f(z)在正向简单闭曲线C上及其内部解析，则对C内部任一点z0有，
f(n)(zn!0)?2?i??f(z)c(z?zn?1dz(n?1,2,3.....)0)不同点：解析函数具有任意阶导数，当函数
在区域D内解析时，它的任意阶导数也在区域D内解析。注意与实函数的区别。（实函数的可导性不能保证导函数的连续性，因而不能保证高阶导数的存在）。
4、洛朗级数：
复变函数与积分变换和高等数学在幂级数展开的关系上也有相似点和不同点 1、含有负幂次项的“幂级数”
例、将函数
11?z在z?0展开成幂级数。 解：
11?z?1?z?z2?......，(z?1) 复函数中，事实上，该函数在整个复平面上
仅有
z?1一个奇点，但正是这样一个奇点，
使得函数只能在z?1内展开为 z 的幂级
数，而在
z?1如此广大的解析区域内不能
展开为 z 的幂级数。
1设想，由
z?1，有
z?1，从而可得，
11?z??1z*1??1?111?1zz2?z3?.....z，
这样一来，在整个复平面上就有
11?z?1?z?z2?......，z?1 11?z??1z?11z2?z3?.....z?1， 《概率论小论文》 第五篇 《复变函数与积分变换与高等数学相关内容的异同》
如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。一如带有负数项的幂级数，也就是复变函数中的洛朗级数。如果知识展开成正幂次则就是实函数中的泰勒展开。
5、傅里叶[5]变换：
相
同点：
??fT(t)?a02??(ancosnw0t?bnsinnw0t)n?1a2T/2n?T??T/2fT(t)cosnw0tdt，
b?2T/2nT??T/2fT(t)sinnw0tdt
在高等数学中，我记得所学过的傅里叶变换只是用三角函数进行的函数的展开，并未出现过i的身影，在复变函数中欧拉公式
ejnw0t?cosnw0t?jsinnw0t，将三
角函数变成指数函数。并且，在复变函数中有傅里叶正变换，也有傅里叶逆变换，还有因此而产生的傅里叶变换对。
复变函数中的傅里叶变换要比实函数中有
参考文献
[1]引自《复变函数与积分变换》刘志国15页
[2]引自《复变函数与积分变换》刘志国16页
[3]引自《复变函数与积分变换》刘志国49页
更广泛的意义与应用。
6、拉普拉斯[6]变换:
拉普拉斯变换是对傅里叶变换的拓展，傅里叶变换的函数必须要求在整个数轴上有定义，但是在物理、无线电技术的实际应用中傅里叶变换则不能满足，此时就需要拉普拉斯变换了。拉普拉斯变换就是对傅里叶变换加以改进的得到的结果。
[f(t)u(t)e??t]??????f(t)u(t)e??te?jwtdt????0f(t)e?(??jw)tdt。
结论：通过以上对于复变函数与积分变换
和高等数学的异同可以看出，他们之间的联系是很紧密的，许多概念和方法都是高等数学中的概念和方法在复变函数与积分变换的拓广，当然，复变函数中也有他自有的意义，用于其它复杂的函数的展开、计算均提供了好的方法。使得在实际生活应用之中有更加简便的计算方法，在计算自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
[4]引自《复变函数与积分变换》刘志国54页
[5]傅立叶法国数学家、物理学家，傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人
[6]拉普拉斯法国数学家、天文学家，分析概率论的创始人，应用数学的先躯.
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