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(1)解 线段AB上存在一点K,且当AK=AB时,BC∥平面DFK.
证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH. 又因为AK=AB,F为AE的中点,
所以KF∥EH,所以KF∥BC. 因为KF?平面DFK,BC?平面DFK, 所以BC∥平面DFK.
(2)证明 因为F为AE的中点,DA=DE=1,
所以DF⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE, 所以DF⊥平面ABCE.
因为BE?平面ABCE,所以DF⊥BE.
又因为在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1, 所以在折起后的图形中AE=BE=,
从而AE2+BE2=4=AB2,所以AE⊥BE. 因为AE∩DF=F,所以BE⊥平面ADE.
因为BE?平面BDE,所以平面BDE⊥平面ADE.
12.(1)证明 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以△ABC是正三角形.
因为D是AC的中点,所以BD⊥AC. 又平面ABC⊥平面CAA1C1,所以BD⊥DE. 因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,AA1=, 所以AE=,AD=1,
所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°. 在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°, 所以∠EDC1=90°,即DE⊥DC1.
因为C1D∩BD=D,所以DE⊥平面BC1D, 所以DE⊥BC1.
(2)解 假设存在点E满足题意.
设AE=h,则A1E=-h,
所以
-S△AED-=2
h-(
h.
因为BD⊥平面ACC1A1, 所以h,又V棱柱=2所以
h=1,解得h=,
灿若寒星
-h)-=3,
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故存在点E,当AE=,即E与A1重合时,三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1
体积的
13.
(1)证明 如图,取BD的中点M,连接AM,ME.
∵AB=AD=,DB=2,
∴AM⊥BD.
∵DB=2,DC=1,BC=满足DB2+DC2=BC2,
∴△BCD是以BC为斜边的直角三角形,BD⊥DC, ∵E是BC的中点,
∴ME为△BCD的中位线,ME??CD,
∴ME⊥BD,ME=,
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角,
∴∠AME=60°.
∵AM⊥BD,ME⊥BD,且AM,ME是平面AME内两相交于M的直线,∴BD⊥平面AEM. ∵AE?平面AEM,∴BD⊥AE. ∵△ABD为等腰直角三角形, ∴AM=BD=1.在△AEM中,
∵AE2=AM2+ME2-2AM·ME·cos∠AME=1+-2×1
cos 60°=,∴AE=∴AE2+ME2=1=AM2,∴AE⊥ME.
∵BD∩ME=M,BD?平面BDC,ME?平面BDC,∴AE⊥平面BDC.
(2)解 取AD的中点N,连接MN,则MN是△ABD的中位线
,MN∥AB.
又ME∥CD,∴直线AB与CD所成角θ等于MN与ME所成的角,即∠EMN或其补角.
AE⊥平面BCD,DE?平面BCD, ∴AE⊥DE.∵N为Rt△AED斜边的中点, ∴NE=AD=,MN=AB=,ME=,
∴cos θ=|cos∠EMN|=
(3)解 记点B到平面ACD的距离为d,则三棱锥B-ACD的体积VB-ACD=d·S△ACD.
又由(1)知AE是三棱锥A-BCD的高,BD⊥CD,
灿若寒星
,
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∴VB-ACD=VA-BCD=又DC=1,AD=AE·S△BCD=
,△ACD为等腰三角形,
∵E为BC中点,AE⊥BC,∴AC=AB=S△ACD=DC1
,
∴点B到平面ACD的距离d=灿若寒星
