2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
21、设集合S?x|x?5x?6?0，T?x|x?2|?3，则S?T=（ ）
????A、{x|?5?x??1} B、{x|?5?x?5} C、{x|?1?x?1} D 、{x|1?x?5} 2、正方体ABCD?A1B1C1D1中BC1与截面BB1D1D所成的角是（ ）
A、
???? B、 C、 D、 64323、已知f(x)?x2?2x?3，g(x)?kx?1，
则“|k|?2”是“f(x)?g(x)在R上恒成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形?1的面积为S1，作?1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为?2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形?3,?4,?，其面积相应为S3,S4,?， 设S1?1,Tn?S1?S2???Sn，则limTn=（ ）
n???A 、
643 B 、 C、 D 、2 5322
5、设抛物线y?4x的焦点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则
|MO|
的最大值为（ ） |MF|
A 、4233 B 、 C、 D 、3
3336、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r的一个实心
球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、r
B、2r
C、312r
D、315r
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
A
B
7、如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的
DFEC ????????中点，AE与BD相交于F，则FD?DE的值是 ．
8、(x?x?)的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）
21x6(an?1)29、设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn?，则S20的值为 ．
410、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角A,B满足tan(A?B)?2tanA，则tanB的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde， 满足条件“a?b?c?d?e”的概率是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、设函数f(x)?sinx?3cosx?1， （I）求函数f(x)在[0,?]上的最大值与最小值； 2bcosc的值． a（II）若实数a,b,c使得af(x)?bf(x?c)?1对任意x?R恒成立，求
14、已知a,b,c?R，满足abc(a?b?c)?1，
（I）求S?(a?c)(b?c)的最小值； （II）当S取最小值时，求c的最大值．
?
15、直线y?kx?1与双曲线x2?y2?1的左支交于A、B两点，直线l经过点(?2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．
16、设函数fn(x)?xn(1?x)2在[,1]上的最大值为an（n?1,2,3,?）． （I）求数列{an}的通项公式；
（II）求证：对任何正整数n(n?2)，都有an?121成立； 2(n?2)7成立． 16（III）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn?
2012
年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、?322 8、?5 9、0 10、14 11、 12、 2154三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I）由条件知f(x)?2sin(x?由0?x??3)?1， （5分）
5?1?，于是?sin(x?)?1
233623?1所以x?时，f(x)有最小值2??1?2；
22知，
???x???当x?
?6
时，f(x)有最大值2?1?1?3． （10分）
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1对任意的x?R恒成立， 33∴2asin(x????)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0 333??∴2(a?bcosc)?sin(x??)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0
33??a?bcosc?0?∴ ?bsinc?0, （15分）
?a?b?1?0?由bsinc?0知b?0或sinc?0。
若b?0时，则由a?bcosc?0知a?0，这与a?b?1?0矛盾！ 若sinc?0，则cosc?1（舍去），cosc??1，
bcosc1??1． （20分） ,c?(2k?1)?，所以，a21214、解：（I）因为(a?c)(b?c)?ab?ac?bc?c?ab?(a?b?c)c?ab? （5分）
ab解得a?b? ?2ab?1?2，等号成立的条件是ab?1， ab
