第4讲 数列求和
一、选择题
1.在等差数列{an}中，a2?1,a4?5,则{an}的前5项和S5=( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析
a2?1,a4?5?S5?a1?a5a?a4?5?2?5?1522.
答案 B
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )． A．15
B．12
C．－12
D．－15
解析 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以
a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15. 答案 A
12 013
3．在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为2 014，则项数n为( )．
n?n＋1?A．2 011
B．2 012
C．2 013
D．2 014
1111n2 013
解析 ∵an＝＝n－，∴Sn＝1－＝＝2 014，解得n＝2 013.
n?n＋1?n＋1n＋1n＋1答案 C
4．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为( )． A．3 690
B．3 660
C．1 845
D．1 830
解析 当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3， ∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2， ∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.
∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝答案 D
30×?3＋119?
＝30×61＝1 830.
2
1
5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}
n的前10项和T10＝( )
A．70 B．75 C．80 D．85 解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝则bn＝n＋2，T10＝答案 B
1
6．数列{an}满足an＋an＋1＝2(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )． 21A.2
B．6
C．10
D．11
＋2
＝75，故选B.
＋2n＋2
＝n(n＋2)，
1
解析 依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝2，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)1
＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题
1
7．在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.
解析 设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所1
以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝2×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|111＋…＋|an|＝2(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝2(2n－1)＝2n－1－2. 1
答案 －2 2n－1－2 22
8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a2＋…＋an＝________.
解析 当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
n－1
又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a2. n＝4
2
∴数列{a2n}是以a1＝1为首项，以4为公比的等比数列．
∴a＋a＋…＋an＝答案
1n(4－1) 3
2122
2
－4n1－4
1
＝(4n－1)． 3
9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足的前n项和Sn＝________.
??1??
?bn＝log3an，则数列?
?bnbn＋1???
a43
解析 设等比数列{an}的公比为q，则＝q＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1
a1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n， 所以
1
bnbn＋1n＝1n＋11＝－. nn＋1
111111n则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
223nn＋1n＋1n＋1答案
nn＋1
4x?1??2??10?10．设f(x)＝x，利用倒序相加法，可求得f?11?＋f?11?＋…＋f?11?的值为
??????4＋2________． 解析
当
x1＋x2＝1
时，f(x1)＋f(x2)＝
4x14x2＋＝
4x1＋24x2＋2
2×4x1＋x2＋2×?4x1＋4x2?
＝1.
4x1＋x2＋?4x1＋4x2?×2＋4
?1??2??10???1??10????2??9??
设S＝f?11?＋f?11?＋…＋f?11?，倒序相加有2S＝?f?11?＋f?11??＋?f?11?＋f?11??
???????????????????10??1?＋…＋f?11?＋f?11?＝10，即S＝5.
????答案 5 三、解答题
11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1
＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
111(2)求＋＋…＋. S1S2Sn解 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，
bn＝qn－1. ?S2b2＝
依题意有?
?S3b3＝
＋d＋3dq＝64，q＝960，
2
?d＝2，解得?
?q＝8
6
??d＝－5，或?
40q＝??3.
(舍去)
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 111
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋S1S2Sn1×32×43×5n1111111?1?
? ＝?1－＋－＋－＋…＋－
32435nn＋2?2?111?1?
－? ＝?1＋－
2n＋1n＋2?2?3
＝－4
2n＋3
1
1
1
1n＋
n＋n＋
.
1
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn(n＝1,2,3，…)． (1)求数列{an}的通项公式；
??1??3
(2)设bn＝log2(3an＋1)时，求数列?bb?的前n项和Tn.
?nn＋1???
解
1
a＝??n12Sn，
(1)由已知得?1
a＝n??2Sn1?n≥2?，
＋
－
3
得到an＋1＝2an(n≥2)．
3
∴数列{an}是以a2为首项，以2为公比的等比数列．
