第七节 抛物线
课时作业 A组——基础对点练
1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y＝4ax(a≠0)的焦点坐标是( ) A．(0，a) 1??C.?0，? ?16a?
B．(a,0)
2
?1?D．?，0? ?16?
1?1?22
解析：将y＝4ax(a≠0)化为标准方程得x＝y(a≠0)，所以焦点坐标为?0，?，所以选
4a?16a?C. 答案：C
2．(2017·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( ) A．2 3
C. 2
1B． 25D． 2
2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点
x1＋x23
C的横坐标是＝.
2
2
答案：C
3．(2017·邯郸质检)设F为抛物线y＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC→→→
的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
2
1?1?解析：依题意，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又焦点F?，0?，x1＋x2＋x3＝3×＝2?2?1?311333→→→?，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝(x1＋)＋(x2＋)＋?x3＋?＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.选C.
2?222222?答案：C
4．已知直线l：y＝kx－k与抛物线C：y＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的→→
焦点，若2FM＝MN，则实数k等于( ) A．±
3 3
B．±1 D．±2
1
2
C．±3
解析：抛物线C：y＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点，如图．过M作MM′⊥准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝|MF|，易知∠M′MN与直|MM′|1→→
线l的倾斜角相等，由2FM＝MN，得cos∠M′MN＝＝，则tan∠M′MN＝±3，∴直
|MN|2线l的斜率k＝±3，故选C.
2
答案：C
5．已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点
2
2
2
Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A．25－1 C.17－1
2
2
B．25－2 D．17－2
解析：由题意得圆x＋(y－4)＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C
6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过
2
P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
23
解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，
323142
设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.
3334
答案：
3
7．(2017·云南检测)已知抛物线C的方程为y＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x＋y＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________．
解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)＋y＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4.
22答案：12或4
8.如图，过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是
2
2
2
22
2
2
pp__________．
解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D(图略)，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F32
是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y＝3x.
2答案：y＝3x
9．已知抛物线y＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)＋y＝p的圆心到过点F的直线l的距离为p.
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l与抛物线交于A、B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．
解析：(1)易知抛物线y＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，依题意直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)， 所以点W到直线l的距离为
|－p－p|1＋－m＝p，解得m＝±3，所以直线l的斜率为±2
3
. 3
2
2
2
2
2
2
(2)由(1)知直线l的方程为x＝±3y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝3y＋
p，
联立?
?x＝3y＋p，?y2＝4px，
3
消去x得y－43py－4p＝0，
2
22
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝43p，y1y2＝－4p， 所以|AB|＝1＋
2
·43p2
＋4×4p＝16p，
2
1
因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，
2所以抛物线的方程为y＝4x.
10．(2017·合肥质检)已知抛物线C1：x＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B. (1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程； (2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．
1?|OA|?解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为?－1，?，半径为2?2?＝
5?1?252
，∴圆C2的方程为(x＋1)＋?y－?＝. 2?2?4
2
2
2
x2x2x2x21222－x1→→
(2)记A(x1，)，B(x2，)．则OB＝(x2，)，AB＝(x2－x1，)．
2p2p2p2px2→→
由OB·AB＝0知，x2(x2－x1)＋
2
2
x22－x1
＝0. 2
4p 3
4p??∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2＝－4p，∴x1＝－?x2＋?. x2??
2
2
2
2
16p16p2422222
∴x＝x＋2＋8p≥216p＋8p＝16p，当且仅当x2＝2，即x2＝4p时取等号．
21
22
44
x2x2
x41412222
又|OA|＝x＋2＝2(x1＋4p·x1)，注意到x1≥16p，
4p4p2
21
1|OA|242222
∴|OA|≥2(16·p＋4p·16p)＝80p.而S＝π·，∴S≥20πp，
4p4
2
2
即S的最小值为20πp，当且仅当x2＝4p时取得．
B组——能力提升练
1．已知抛物线C：y＝mx(m>0)的焦点为F，点A(0，－3)．若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|∶|MD|＝1∶2，则点M的纵坐标为( ) 1
A．－
32C．－
3
B．－
3 3
2
222
23D．－
3
解析：依题意，F点的坐标为(，0)，设点M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|
40＋343
＝|MK|，因为|FM|∶|MD|＝1∶2，所以|KD|∶|KM|＝3∶1，kFD＝3，kFD＝＝，
mm－04432
所以＝3，解得m＝4，所以直线FM的方程为y＝3(x－1)，与y＝4x联立，解得xmm1423231232
＝3(舍去)或x＝，所以y＝，y＝－或y＝(舍去)，故点M的坐标为(，－)，
333333故选D. 答案：D
2．(2018·石家庄质检)已知圆C1：x＋(y－2)＝4，抛物线C2：y＝2px(p>0)，C1与C2相交85
于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为( )
582
A．y＝x
5322
C．y＝x
5
162
B．y＝x
5642
D．y＝x
5
2
2
2
解析：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(k>0)，圆心C1(0,2)到直线AB的距离d＝
2
＝
2－
2
k2＋1
455
2
＝
25
，解得k＝2(k＝－2舍去)．由5
4
