高考数学必胜秘诀
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
§圆锥曲线
1.圆锥曲线的定义：
定义中要重视“括号”内的限制条件：
椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于
F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；
双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．
如（1）已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是( )
A．PF B．PF 1?PF2?41?PF2?6C．PF D．PF11?PF2?102?PF22?12
（2）方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线是_____
2.圆锥曲线的标准方程
（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2y2x?acos?（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?（参数方程，其中?为参数），
y?bsin?aby2x2焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）．方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，
ab且A，B，C同号，A≠B）．
?x2y2如（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____
3?k2?k（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是__ _
x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）．
abab方程Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）．
x2y25如（1）双曲线的焦距与实轴长之比等于，且与椭圆??1有公共焦点，则该双曲线的方程_______
942（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，焦距与实轴长之比e?2的双曲线C过点
P(4,?10)，则C的方程为_______
222（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时x?2py(p?0)，
2开口向下时x??2py(p?0)．
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1） 椭圆：由x,y22分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．
x2y2如已知方程??1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__
m?12?m（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向． 特别提醒：
（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；
1
22（2）在椭圆中，a最大，a?b?c，在双曲线中，c最大，c?a?b． 4.圆锥曲线的几何性质：
222222x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦
ab点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；
x2y210如（1）若椭圆，则m的值是__ ??1的焦距与长轴之比为e?5m5（2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值
为_ _
x2y2??1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两a2b2个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
bx2?y2?k,k?0；④两条渐近线：y??x．
a如（1）双曲线的渐近线方程是3x?2y?0，则该双曲线的焦距与实轴长之比等于______
（2）双曲线ax?by?1的焦距与实轴长之比为5，则a:b= 22
x2y2（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，焦距与实轴长之比e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值
ab范围是________
（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(p,0)，其中p2的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x??p； 22如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax的焦点坐标为________
x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：
ab22x0y0（1） 点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；
ab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1
abab6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；
??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．
22
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______
x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是_______ （2）直线y―kx―1=0与椭圆
5mx2y2??1的右焦点直线交双曲线于A、（3）过双曲线B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____12条
（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切；
（3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离．
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特别提醒：
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
x2y2（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
ab①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支
相切的两条切线，共四条；
②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；
③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．
如（1）过点(2,4)作直线与抛物线y2?8x只有一个公共点，这样的直线有___ ___
x2y2（2）过点(0,2)与双曲线??1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___ ___
916y22（3）过双曲线x??1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则满足条件的直线l2有_ ___条
（4）对于抛物线C：y2?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______
（5）过抛物线y2?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
211??_______ pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别（6）设双曲线
169于P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)
（7）求椭圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离.
22（8）直线y?ax?1与双曲线3x?y?1交于A、B两点． ①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ ②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）
如（1）已知抛物线方程为y?8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（2）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为_____
2x2y2（3）点P在椭圆??1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为
259_______
2（4）抛物线y?2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______ 8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）
问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的
x2y2S，则在椭圆2?2?1中， 距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面积为
ab3
b2?c22b2①?＝arccos(；?1)，且当r1?r2即P为短轴端点时，?最大为?max＝arccosa2r1r2?2②S?btan?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；
2x2y2对于双曲线2?2?1的焦点三角形有：
ab?2b2?1?2?1?S?rrsin??bcot①??arccos?；②． 12??rr2212??如（1）短轴长为5，焦距与长轴之比为e?B两点，则?ABF2的周长为________
（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，
则该双曲线的方程为
2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、3x2y2→→??1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆2 ·PF1 <0时，点P的横坐标的94取值范围是
6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线2的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________
（4）双曲线的虚轴长为4，焦距与实轴之比为
（5）已知双曲线的焦距与实轴之比为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60?，
S?PF1F2?123．求该双曲线的标准方程.
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；
（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB； （4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线．
10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?21y1?y2， 2k若弦AB所在直线方程设为x?ky?b，则AB＝1?ky1?y2．
如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．
2b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；
abay0b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；
abay04
