数学建模——铲雪机工作的微分方程模型

因为当t=T是vs=0,R-a2(T-T/2)=0,?T=2R/a2.即下雪时间可由降雪 强度系数a2确定。

显然只有当在t=T/2时，h达到d,积分侯会得 到降雪停止前h

1得到h?d?a2T2??D

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参考文献

周义仓，赫孝良，《数学建模实验》，第二版，西安交通大学出版社，2007.8

附录

附件1：模型Ⅰ求解过程的图像

（1）h与t的关系图像

(2)S与t的关系图像

（3）h与a1的关系图像

附件2： 关于模型求解的Matlab程序（所有程序已在Matlab 6.5版本编写调试通过）

% model1_1.m 求解分程 d=50; S0=10^6; vm0=10; R=0.1; k=10/150; syms a1; syms t; vs=R-a1*t;

h=int(vs,t,0,t) % 对dh=vsdt从0到t积分。 vm=vm0-k*h f=h-d;

t0=solve(f,t)% 求当h=d时t的值t0，即铲雪机开始工作时的时间因为t<=t0时S=0，t>t0时dS=vmdt

S=int(vm,t,t0(2),t) % t0有2个值,取1个值即可,t<=t0时S=0，t>t0时dS=vmdt，因此从t0到t 积分

% figure_h_t.m 作h关于t的图像 clear; R=0.1; a1=0.001;

% 由vm=R-a1*t=0,可求出铲雪机不能工作时的时间t=R/a1 tt=R/a1; t=[0:0.1:tt];

h =t./10-1/2*0.001*t.^2;

plot(t,h); % 作出h在0到tt时间段的图像 hold on;

t1=[tt:0.1:200];

h1 =t1./10-1/2*0.001*t1.^2; plot(t1,h1,':');

title('h =t./10-1/2*0.001*t.^2的图像'); xlabel('时间t');

ylabel('积雪厚度h');

% figure_S_t.m S关于t的图像 clear; R=0.1; a1=1/30000;

% 由vm=R-a1*t=0,可求出铲雪机不能工作时的时间t=R/a1 tt=R/a1; t=[0:tt]; S

=10*t-1/a1*(1-(1-10000*a1)^(1/2))-1/300*t.^2+1/30000/a1^2*(1-(1-10000*a1)^(1/2))^2+1/90*a1*(t.^3-1/1000/a1^3*(1-(1-10000*a1)^(1/2))^3);

plot(t,S);

title('S=S(t)的图像'); xlabel('时间t');

ylabel('铲雪机已经工作路面长度S'); axis([0,tt,0,6000]);

% limit.m求极限 R=0.1; syms a1;

L=limit((0.1/a1)/10-1/2*a1*(0.1/a1)^2,a1,0)

% figure_h_a1.m 作h关于a1图像 clear;

a1=[0:0.00000001:0.000001];

h=(0.1./a1)./10-1/2*a1.*(0.1./a1).^2; plot(a1,h);

title('h =h(a1)的图像'); xlabel('降雪强度系数a1'); ylabel('积雪厚度h');

% model1_2.m 解方程h=150 clear; R=0.1; S0=10^6; syms a1; t1=R/a1;

h =1/10*t1-1/2*a1*t1^2;

a1=solve(h-150,a1)% 解方程h=150时a1的值，即当降雪停止时积雪厚度刚好是150cm时a1的值 t=0.1/a1;

S=10*t-1/a1*(1-(1-10000*a1)^(1/2))-1/300*t^2+1/30000/a1^2*(1-(1-10000*a1)^(1/2)^3) % 当降雪停止时铲雪机已经工作路面长度

% view.m 显示铲雪机能否完成工作 S0=10^6;

S =10000/3*2^(1/2)*3^(1/2); % 显示铲雪机能否完成工作 if S>S0

fprintf('\\n铲雪机能完成工作'); else

fprintf('\\n铲雪机不能完成工作'); end