uuuruuuruuuruurMA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?。 x?2y?3?0（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x?14x?mn?0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
2alnxbf?，曲线y?f(x)在点(1,x?1x(1处)的切线方程为
lnxk?，求k的取值范围。 x?1x?x?2cos?（?为参数） ?y?2?2sin??uuuvuuuvM是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??
?3与C1的异于极点的
交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0。
（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值。
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二、填空题
x2y2（13）-6 （14）??1 （15）83 （16）27 168三、解答题 （17）解：
2（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?2321。 9由条件可知a>0,故q?1。 31。 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列{an}的通项式为an=
1。 3n（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n)??n(n?1)2
故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1
111111112n ??...???2((1?)?(?)?...?(?))??b1b2bn223nn?1n?1所以数列{(18)解：
（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD+AD= AB，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故 PA?BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
2
2
2
12n }的前n项和为?bnn?1A?1,0,0?,B0，3,0,C?1,3,0,P?0,0,1?。 uuuvuuvuuuvAB?(?1,3,0),PB?(0,3,?1),BC?(?1,0,0)
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则{uuurn?AB?0,uuurn?PB?0,????
即 ?x?3y?03y?z?0
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC的法向量为m，则 {uuurm?PB?0,uuurm?BC?0,
可取m=（0，-1，?3） cosm,n??427??
727故二面角A-PB-C的余弦值为 ?（19）解
27 7（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为生产的产品的优质品率的估计值为0.42
22?8=0.3，所以用A配方10032?10?0.42，所以用B配方100
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
?90,94?,?94,102?,?102,110?的频率分别为0.04，,054,0.42，因此
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20）解：
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuuruuur所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).
uuuruuuruuur再由题意可知（MA+MB）? AB=0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
12x-2. 4121'1(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以l的斜率为x0 42212因此直线l的方程为y?y0?x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x0?0。
2所以曲线C的方程式为y=则O点到l的距离d?2|2y0?x0|2x0?4.又y0?12x0?2，所以 412x0?41422d??(x0?4?)?2,
222x0?4x0?4当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2. （21）解：
2?(（Ⅰ）f'(x)?x?1?lnx)bx ?22(x?1)x
?f(1)?1,1?由于直线x?2y?3?0的斜率为?，且过点(1,1)，故?1即
2f'(1)??,??2
