备战2013高考数学――压轴题跟踪演练系列六
1．（本小题满分14分）
如图，设抛物线C:y?x2的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1?x0)，
2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;
2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0;
解得P点的坐标为：xP?x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，
32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,
3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).
3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.
214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ?2∴cos?AFP?1|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当x1x0?0时,由于x1?x0,不妨设x0?0,则y0?0,所以P点坐标为(
x1,0)，则P点到2
直线AF的距离为：d1?2即(x1?)x?x1y?|x1|1;而直线BF的方程:y??24x12?x114x,
141x1?0. 4x1x1|x||(x12?)1?1|(x12?)1424?42?|x1| 所以P点到直线BF的距离为：d2?121x12?(x12?)2?(x1)244所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, ②当x1x0?0时，直线AF的方程：y??0004x0?0442x0?114(x?0),即(x2?1)x?xy?1x?0, 直线BF的方程：y??1114x1?044x12?所以P点到直线AF的距离为：
x?x11x?x111222|(x0?)(0)?x0x1?x0||0)(x0?)42424?|x0?x1|，d1??同理可得到P点到直线
122122x0?(x0?)2?x044BF的距离d2?|x1?x0|，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 22．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆3x2?y2??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与
椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）
本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为y?k(x?1)?3,代入3x?y??，整理得
22(k2?3)x2?2k(k?3)x?(k?3)2???0. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个不同的根， ∴??4[?(k?3)?3(k?3)]?0, ② 且x1?x2?
222k(k?3),由N（1，3）是线段AB的中点，得 2k?3
x1?x2?1,2?k(k?3)?k2?3.
解得k=－1，代入②得，??12,即?的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB的方程为y?3??(x?1),即x?y?4?0. 解法2：设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
22??3x1?y1?? ??(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)?0. 22??3x2?y2?? 依题意，x1?x2,?kAB??3(x1?x2).
y1?y2∵N（1，3）是AB的中点， ∴x1?x2?2,y1?y2?6,从而kAB??1. 又由N（1，3）在椭圆内，∴??3?12?32?12, ∴?的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
2代入椭圆方程，整理得 4x?4x?4???0.
又设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为C(x0,y0),则x3,x4是方程③的两根， ∴x3?x4??1,且x0?11313(x3?x4)??,y0?x0?2?,即M(?,). 22222于是由弦长公式可得 |CD|?1?(?)?|x3?x4|?1k22(??3). ④
2将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得4x?8x?16???0 ⑤
2同理可得 |AB|?1?k?|x1?x2|?2(??12). ⑥
∵当??12时，2(??3)?2(??12),?|AB|?|CD|
假设存在?>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
13|???4||x0?y0?4|32?22?. ⑦ 点M到直线AB的距离为 d?222于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
|MA|2?|MB|2?d2?|AB29??12??3CD2|????||. 22222
故当?>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心， （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
|CD|
为半径的圆上. 2
A、B、C、D共圆?△ACD为直角三角形，A为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，
|AB|2|CD||CD|)?(?d)(?d). ⑧ 222??12, 由⑥式知，⑧式左边?2即 (由④和⑦知，⑧式右边?(2(??3)322(??3)32??39??12?)(?)???, 2222222∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为y?3?x?1，代入椭圆方程，整理得
4x2?4x?4???0. ③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
4x2?8x?16???0. ⑤
解③和⑤式可得 x1,2?2???12?1???3,x3,4?.
22不妨设A(1?1??12,3?1??12),C(?1???3,3???3),D(?1???3,3???3)
222222∴CA?(3???12???33???3???12,)
22DA?(3???12???33???3???12,)
22计算可得CA?DA?0，∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC⊥AD） 3．（本小题满分14分）
已知不等式
1111?????[log2n],其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大23n2nan?1,n?2,3,4,?
n?an?1整数. 设数列{an}的各项为正，且满足a1?b(b?0),an? （Ⅰ）证明an?2b,n?3,4,5,?
2?b[log2n]
