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1－cos 2x12221
【解析】y＝＋sin 2x＝(sin 2x－cos 2x)＋ 2222222π12π
＝sin(2x－)＋，所以T＝＝π.故选B. 2422题型二 求函数的值域 【例2】求下列函数的值域： (1)f(x)＝
sin 2xsin x
；
1－cos x
π
(2)f(x)＝2cos(＋x)＋2cos x.
3
2sin xcos xsin x2cos x(1－cos2x)
【解析】(1)f(x)＝＝＝2cos2x＋2cos x
1－cos x1－cos x11
＝2(cos x＋)2－，
22
当cos x＝1时，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4， 111
当cos x＝－时，f(x)min＝－，所以函数的值域为[－，4).
222ππ
(2)f(x)＝2(cos cos x－sin sin x)＋2cos x
33π
＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋)，
6所以函数的值域为[－23，23]. 【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，则有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝
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t2－1
. 2
t2－11
所以y＝f(t)＝t＋＝(t＋1)2－1.
22
π
又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，所以－2≤t≤2. 41
故y＝f(t)＝(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
21
从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋. 21
所以函数的值域为[－1，2＋].
2题型三 三角函数的单调性
【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值；
π
(2)设g(x)＝f(x)f(x－)，求函数g(x)的单调递增区间.
4ππ2π
【解析】(1)由图可知，T＝4(－)＝π，ω＝＝2.
24T
π
又由f()＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
2π
因为|φ|＜π，所以φ＝－. 2π
(2)f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x.
2
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π1
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－)]＝cos 2xsin 2x＝sin 4x. 22
ππkππkππ
所以当2kπ－≤4x≤2kπ＋，即－≤x≤＋(k∈Z)时g(x)单调递增.
222828kππkππ
故函数g(x)的单调增区间为[－，＋](k∈Z).
2828
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
π
【变式训练3】使函数y＝sin(－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是
6( ) πA.[0，]
3
π7πB.[，] 12125π
D.[，π] 6
π5π
C.[，] 36
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C. 总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋?)的图象和性质
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典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到. 13【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx
22π
＋)， 3
2ππ
又因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋)，
ω3π
所以函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为.
3(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
π
(3)把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位，得到y＝sin(x
3
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