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题型一 三角函数式的化简
(1?sin ??cos ?)(sin ??cos )22?【例1】化简
2?2cos ?(0＜θ＜π).
θπ
【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜＜，
22
(2sin ?2cos ?2?2cos 22?2)(sin ?2?cos ?2)所以原式＝
2sin 2cos ?2
?2(sin 2??cos )222?＝
2cos ?2＝－cos θ.
θ
【点拨】先从角度统一入手，将θ化成，然后再观察结构特征，如2θθ
此题中sin2－cos2＝－cos θ.
22
1
2cos4x－2cos2x＋2
【变式训练1】化简.
ππ2tan(－x)sin2(＋x)
44
1
(2cos2x－1)22cos22x
【解析】原式＝＝＝
ππππ2tan(－x)cos2(－x)4cos(－x)sin(－x)
4444cos22x1
＝cos 2x. π22sin(－2x)
2题型二 三角函数式的求值 xx
【例2】已知sin －2cos ＝0.
22(1)求tan x的值；
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(2)求cos 2x
的值.
π
2cos(＋x)sin x
4
2tan x2 x21?tanxxx
【解析】(1)由sin －2cos ＝0?tan ＝2，所以tan x＝
222
2＝
2×24
＝－. 31－22
cos2x－sin2x
(2)原式＝
222(cos x－sin x)sin x22
(cos x－sin x)(cos x＋sin x)cos x＋sin x131
＝＝＝＋1＝(－)＋1＝. sin xtan x44(cos x－sin x)sin x2cos 5°－sin 25°
【变式训练2】＝ .
sin 65°
2cos(30°－25°)－sin 25°3cos 25°【解析】原式＝＝＝3. cos 25°cos 25°题型三 已知三角函数值求解
11
【例3】已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β
27的值.
2tan(α－β)4
【解析】因为tan 2(α－β)＝＝，
1－tan2(α－β)3
tan2(α－β)＋tan β
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝1，
1－tan 2(α－β)tan βtan(α－β)＋tan β1
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝，
1－tan(α－β)tan β3π
因为α∈(0，π)，所以0＜α＜，
4
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π3π又＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－. 24
【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A.α＝β
B.α＜β D.以上都有可能
C.α＞β
1
【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤，又α是锐
2角，所以α≤30°.
又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.
方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β， 所以sin α＜sin β.
又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B. 总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”； (3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立
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的条件.
5.4 三角恒等变换 典例精析
题型一 三角函数的求值
ππαα
【例1】已知0＜α＜，0＜β＜，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，4422求α＋β的值.
2tan 1?tanαα
【解析】由4tan ＝1－tan2，得tan α＝
22
2?2 ?21
＝. 2
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. ππ
又因为α、β∈(0，)，所以α＋β＝.
44
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向. 3π1π
【变式训练1】如果tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)等于
5444( )
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