专题14 二次函数综合题
1．（2019?广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．
（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．
【解析】（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点， ∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3． （2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3， ∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3， ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3）， ∴x=m+1，y=-m-3， ∴x+y=m+1-m-3=-2， 即x+y=-2，变形得y=-x-2， ∵m>0，m=x-1， ∴x-1>0， ∴x>1，
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．
（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线，
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4， ∴函数H的图象恒过点B（2，-4）， ∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3， ∴抛物线G恒过点A（2，-3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB ∵x>1，且x=2时，方程为0=-1不成立， ∴x≠2，即x2-2x=x（x-2）≠0， ∴m?1?x?0， x(x?2)∵x>1， ∴1-x<0， ∴x（x-2）<0， ∴x-2<0， ∴x<2，即1 【名师点睛】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用． 2．（2019?广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y?323373x?x?与x轴交于点A、B（点848A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE． （1）求点A、B、D的坐标； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形； （3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？ 【解析】（1）令733233x?x??0， 884解得x1=1，x2=-7． ∴A（1，0），B（-7，0）． 由y?3233733x?x?（x+3）2-23得，D（-3，-23）． ?8488（2）∵DD1⊥x轴于点D1， ∴∠COF=∠DD1F=90°， ∵∠D1FD=∠CFO， ∴△DD1F∽△COF， D1DCO?∴， PD1OF∵D（-3，-23）， ∴D1D=23，OD=3， ∴D1F=2， ∴23OC， ?21∴OC?3， ∴CA=CF=FA=2， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠AFC=∠ACF， ∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE， ∴∠ECF=∠AFC=60°， ∴EC∥BF， ∵EC=DC?32?(3?23)2?6， ∵BF=6， ∴EC=BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． （3）∵点P是抛物线上一动点， ∴设P点（x，323373x?x?）， 848①当点P在B点的左侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴ DD1D1ADD1D1A??或， PMMAAMPM234234??∴3233731?x或1?x323373， x?x?x?x?848848解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-11或x1=1（不合题意舍去）x2??当点P在A点的右侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴ 37； 3PMDD1PMD1A??或， AMD1AMADD1323373323373x?x?x?x?48?4， 848?23或8∴ x?123x?14解得：x1=1（不合题意舍去），x2=-3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2??舍去）； 当点P在AB之间时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴ 5（不合题意3PMDD1PMD1A??或， AMD1AMADD1
