精品
第二章 随机变量及其分布
章末复习
学习目标 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解离散型随机变量及分布列，并掌握两个特殊的分布列——二项分布和超几何分布.3.理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题.4.了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
1．离散型随机变量的分布列
(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X P
x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质： ①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n；
n②∑pi＝1. i＝1
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X P
1 0 p q 其中0 CMCN－M在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝n (kCN＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N，则称分布列 * kn－kX 0 1 … m 精品 P 为超几何分布列． 4．条件概率及其性质 CMCN－Mn CN0n－0CMCN－Mn CN1n－1… CMCN－Mn CNmn－m(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝P?AB? (P(A)>0)． P?A? n?AB? . n?A? 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝(2)条件概率具有的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 5．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立． 6．二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p) kkn－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 7．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 n称D(X)＝∑ (xi－E(X))pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术i＝1平方根D?X?为随机变量X的标准差． 2 精品 (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝aD(X)．(a，b为常数) (4)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 8．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝ 12πσ2 e?(x??)22?2，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们 称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值 1 σ2π ； ④曲线与x轴之间的面积为 1 ； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 μ 的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示． (3)正态分布的定义及表示 b 如果对于任何实数a，b (a 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ 2 类型一 条件概率的求法 例1 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x＋bx＋c＝0有实根的概率． 2 2 精品 考点 条件概率的定义及计算公式 题点 直接利用公式求条件概率 解 记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，11 共有11种．从而P(M)＝. 36 记“方程x＋bx＋c＝0有实根”为事件N， 若使方程x＋bx＋c＝0有实根， 则Δ＝b－4c≥0，即b≥2c. ∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， ∴当先后两次出现的点数中有5时， 若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6； 7 若c＝5，则b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一种情况，从而P(MN)＝. 36 ∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x＋bx＋c＝0有实根的概率为P(N|M)＝ 2 2 22 P?MN?7 ＝. P?M?11 反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法 (1)P(B|A)＝(2)P(B|A)＝ P?AB? . P?A? n?AB? .在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基n?A? 本事件个数． 跟踪训练1 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人． (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式) 考点 条件概率的性质及应用 题点 条件概率的性质的简单应用 解 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C. (1)此人患色盲的概率 P(C)＝P(AC)＋P(BC) ＝P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B) ＝ 10051000.2521×＋×＝. 200100200100800 521，又因为P(C)＝， 200800 (2)由(1)得P(AC)＝ 5 P?AC?20020 所以P(A|C)＝＝＝. P?C?2121 800
