质数与合数
知识要点
阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明之一，其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀璨的明珠！ 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30?2?3?5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12?2?2?3?22?3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：a3aka2n?p1a1?p2?p3??pk?ak为自然数，并且这种表示是其中为质数，a1?a2?唯一的.该式称为n的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
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4. 部分特殊数的分解 111?3?37；1001?7?11?13；11111?41?271；10001?73?137；1995?3?5?7?19；1998?2?3?3?3?37；2007?3?3?223；2008?2?2?2?251；10101?3?7?13?37. 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如：149很接近144?12?12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
类型一、质数合数的基本概念的应用
【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：
美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．
请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．
【例 2】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？
【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前
去参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？
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【例 4】 9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组
【例 5】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，
那么这9个数字最多能组成多少个质数.
【例 6】 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
【例 7】 将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少
类型二、分解质因数
【例 8】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?
【例 9】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最
大的一个是多少？
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【例 10】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那
么这个长方体的体积是多少?
【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）
大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？
【例 12】 甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？
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