第一章 随机事件与概率
作者：韩进洪 辽宁工程技术大学 一.随机事件
1.定义：一个试验，如果满足一下三点：
（1）可以在同样条件下重复进行； （2）试验的结果多于一个；
（3）在试验前其结果是不可知的，一般只知道是几个结果中的一个或在某个范围内， 或只知道有某种可能性，而试验进行之后，结果是明确的。那么我们就称这种试验为随机试验。随机试验的结果称为样本点，常用?表示。所有可能的结果，即所有可能的样本点构成的集合被称为样本空间，常用?表示。如在抛硬币的试验中，样本点是“正面”和“反
反面?。“正面”?2?“反面”?1,?2?。面”，样本空间是集合?正面，若记?1?，则???，
白球。 在摸球的试验中，样本点是“红球”和“白球”，样本空间是??红球，在随机试验中，如果我们所关心的结果可以表示为样本点的集合，这个结果就被称为随机事件，简称为事件。事件常用大写的字母A,B,C等表示。样本点也可以看成是事件，这时可以把样本点看作是单点集，称为基本事件。另外，不管随机实验的结果是什么，都有???，所以样本空间?表示必然事件。又因为对任意???,???，所以空集表示不可能事件。这样，样本空间和空集也被看作是事件。这是两个特殊的事件。一个为必然事件，一个为不
可能事件。
??2. 随机事件的运算
（1）随机事件的包含关系
如果事件A的样本点都是事件B的样本点，则称事件B包含事件A，记作A?B。若
??A，则??B，所以A?B的概率论意义是，A发生必然导致B发生。特别地，如果
A?B，又有A?B，则称事件A等于事件B，记为A?B。
（2）随机事件的对立事件
设A为一个事件，样本空间?中的所有不包含在A中的样本点组成的事件称为A的逆事件或对立事件，记作A，即A???;??A?。这时，若??A，必有??A，若??A，必有??A，所以，若A发生，则必然A不发生，若A发生，则必然A不发生。 （3）随机事件的交（积）
同时属于事件A和B的样本点构成的事件称为A和B的交，记为A?B，即
A?B???;??A,??B?。若??A?B，则??A,??B，故若A?B发生，则A和
B都发生。换言之，A?B表示A和B同时发生。为简洁起见A?B也常记为AB。
（4）随机事件的并
所有属于事件A和B的样本点的全体构成的事件称为A和B的并，记为A?B，即
A?B?{?;??A或??B}。若??A?B，则??A，或??B，所以事件A?B发
生，则有A发生或B发生或A和B都发生。换言之，事件A?B表示A和B中至少有一个发生。
（5）随机事件的差
包含在事件A中而不包含在B中的样本点构成的事件称为A与B的差，记为A?B，即
A?B???;??A,??B?。若??A?B，则??A，??B，故A?B表示A发生而B不发生。
(6) 不相容随机事件
如果A?B??，则称事件A和B不相容（互斥）。因为事件A与B的交为空集，所以若
??A，则??B；若??B，则??A，故A?B??表示事件A与B不会同时发生。
显然有A?A??,A?A??，这是因为事件A和A不会同时发生，而无论试验的结果是什么，都有??A或??A，即A?A为必然事件。 (7) 有限个随机时间的并和交
两个必然事件的并和交可以推广到n个事件的情形。设有n个事件A1,A2,?,An，它们的并表示这n个事件中至少有一个发生，记为：A1?A2???An?n?Ai?1ini
它们的交表示这n个事件同时发生，记为：A1?A2???An?nn?Ai?1
注意：这里
?A即为?的子集A,i?1,2,?,n的并，?A即为它们的交。
iiii?1i?13.各类事件运算关系的意义
设A,B,C为三个事件
(1) A?B?C,A?B?C,A?(B?C)都表示A发生而B与C都不发生。
(2) A?B?C,A?B?C,A?B?A?B?C都表示A与B同时发生，而C不发生。 (3) (A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)表示三个事件恰好发生一个。 (4) (A?B?C)?(A?B?C)?(A?B?C)表示三个事件中恰好发生两个。 (5) A?B?C表示三个事件都发生。
(6) A?B?C,ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC都表示三个事件中至少有一个发生。
4.事件的运算满足以下规律
(1) 交换律：A?B?B?A,A?B?B?A
(2) 结合律：(A?B)?C?A?(B?C),(A?B)?C?A?(B?C)
(3) 分配律：(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (A?B)?C?(A?C)?(B?C) (4) 德莫根定理：A?B?A?B,A?B?A?B。
二. 随机事件的概率
1.频率与概率
一个随机事件A，若在n次随机试验中出现nA次，那么称fA?nAn为事件A的频率。一个随机事件的频率反应了该随机事件出现的可能性的大小，而频率又接近于某个固定的常数，这就启发我们用这个常数来度量随机事件发生的可能性的大小，并称它为概率。事件A的概率记作P?A?.
2.概率的性质
性质1: 0?P(A)?1 性质2 :P(?)?1 性质3: P(A?B)?P(A)?P(B)这里A,B是不相容的。
一般地，设A1,A2,?,An为两两不相容的随机事件，即Ai?Aj??,i?j, 由性质3和数
?n?A学归纳法可知:P???i???P?A1??P?A2????P?An?这个性质被称为概率的有限可加?i?1?性。
3.定义：设P是一个随机事件的函数。如果它满足以下三个条件
（1）设A为一个随机事件，则0?P?A??1 （2）P????1 （3）设A1,A2,?,An为两两不相容的随机事件，即Ai?Aj??,i?j, 则
?n?P?A??i???P?A1??P?A2????P?An?那么就称P为有限可加概率。 ?i?1?4.古典概型
如果一个随机模型满足以下条件:(1) 样本空间中样本点的个数是有限的;(2) 每个样本点的概率是相同的,那么就被称作古典概型。 结论：
(1) 在古典概型中，每个样本点的概率为1/n
(2) 古典概型中，随机事件A的概率为A中样本点的数目m与样本空间中样本点的数目n之比，即P(A)?m/n。
注1. 在求解具体问题时，事件A的样本点通常被称为有利情形或有利场合。 注2. 在古典概型中，概率的计算公式是基于概率的有限可加性得到的。
5.几何概率
定义：记事件Ag为“在区域?中随机取一点，该点在?的一个小区域g中”，则定义概率
P(Ag)?m?g?,其中m?g?和m???分别为g和?的度量,这样定义的概率称为几何概率。
m???几何概率有一个特点，样本空间?是一个区域，它可以是一维的，二维的，三维的，也可以是n维的。而点所在的区域g的概率只和g的度量（长度、面积、体积等）成正比，与g的位置和形状无关。
6.概率的公理化
首先，?作为必然事件，它理所应当地属于事件域F。同时空集作为不可能事件也应该在F中，即F必须满足:(1) ??F；(2) ??F；(3) 若A?F，则A?F；(4) 若
Ai?F,i?1,2,?,n，则?Ai?F.(5) 若Ai?F,i?1,2,?,n，则?Ai?F.(6) 若
i?1i?1nnAn?F,n?1,2,?，则?An?F.(7) 若An?F,n?1,2,?，则?An?F.
n?1n?1??定义：设F是集合?的子集构成的集族，它满足以下条件
