习题
4-1. 质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为r?acos?ti?bsin?tj，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P =mv?m（?-?asin??ti+?bcos??tj）
（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化，因为动量没变，所以冲量为零。
4-2. 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10?22kg?m/s，中微子的动量为6.1?10?23kg?m/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为5.8?10?26kg，求其反冲动能。
由碰撞时，动量守恒，分析示意图，可写成分量式： m1sin??m2co?s
P?m1cos??m2sin?
?所以P?1.44?10?22kg?m/s ??????151.9
P2?0.17?10?18J （2）反冲的动能为：E?2m
4-3. 中子的发现者查德威克于1932年通过快中子与氢核、氮核的对心弹性碰撞发现氢核的反冲速度为
3.3?107m/s，氮核的反冲速度为4.7?106m/s，已知氢核的质量为1u，氮核的质量为14u，试推算中子的质量及其
初速度。
解：根据弹性碰撞遵循的规律，可得到以下两个式子：
mv0?mHvH?mHevHe
111222mv0?mHvH?mHevHe 222代入已知量，可得：M=1.159u， v?3.07?10m/s
4-4. 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?10t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I；（3）子弹的质量。
57F?400?4?10t/3?0 算解：（1）由F?400?4?10t/3和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：
出t=0.003s。
（2）由冲量定义：
55I??Fdt??（400?4?105t/3）dt?400t?2?105t2/3003330?0.6N?s
（3）由动量定理：
I??Fdt??P?mv?0.6N?s03
所以：m?0.6/300?0.002kg
4-5. 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解：由题意，本题需要用斜抛的知识和动量守恒定理来解决。 假设斜抛出手的速度为v，与水平方向的夹角为θ，那么： 水平方向 v//=v0cosθ xc=v0cosθtc
竖直方向 v?=v0sinθ-gt y= v0sinθt-
12gt 2在最高点爆炸，竖直方向没有初始动量；其中一碎片铅直自由下落，说明爆炸后的一个碎片没有动量，则另一块碎片应该是没有竖直方向的速度，同时水平方向的速度变为原来的两倍（因为它质量是原来的一半，由动量守恒可得），它的水平位移将继续走过x2。
1
所以：x2=2v0cosθt2 它们同时落地，落地的时间t2?则x2= xc，那么它落地点在抛出点的2 xc处。
v0sin?1?tc g24-6. 两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1?m，m2?3m）求：（1）释放后A、B两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。
解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。
1122m2v20?kx0 22m2v20?（m1?m2）v
3k x043m112122（2）m2v20?kx?（m1?m2）v
2221那么计算可得：x?x0
2所以v?4-7. 二质量相同的小球，一个静止，一个以速度v0与另一个小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数e?0.5. 解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得
（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0?2mv
所以：v?1v0 2（2）假设碰撞是完全弹性的， mv0?mv1?mv2
111222mv0?mv1?mv2 222两球交换速度， v1?0 v2?v0
（3）假设碰撞的恢复系数e?0.5，也就是 mv0?mv1?mv2
v2?v1?0.5
v10?v2013所以：v1?v0 ， v2?v0
444-8. 如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为
M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量m?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：
?112Mv2?kx0?Mgxsin?22
mv0?Mv?（m?M）v?3 23?v????0.89
2.02?v?4-9. 水平路面上有一质量m1?5kg的无动力小车以匀速率v0?2m/s运动。小车由不可伸长的轻绳与另一质量为
m2?25kg的车厢连接，车厢前端有一质量为m3?20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数为??0.2?开始时车厢静止，
绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所
2
需要的时间。(车与路面间摩擦不计，取g =10m/s2)
解：由碰撞过程动量守恒，可得 m1v0?（m1?m2?m3）v? ?v??0.2
m1v0?(m1?m2)v v?1212m15?21v0??ms
m1?m25?253?m3gs?(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?2
11(m1?m2)v2?（m1?m2?m3）v?12?m s?2?m3g60v?0.2（2）m3v??μm3gt t???0.1s
μg0.2?10
4-10. 一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k.一
L.(1)求子弹的速度；质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了(2)若子弹射入
木块的深度为s，求子弹所受的平均阻力。
解：（1）碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后的运动由机械能守恒条件可得，
mv0?（m?M）v?
11（m?M）v?2?kL2 22Lk（m?M）计算得到：v0? m（2）子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加，两次作功的位移差为s，所以：
12m（v0?v?2） 21fx??Mv?2 其中x?x??s
2MkL2所以：f?
2msfx?
4-11. 质量为M、长为l的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即f??kv.求在整个过程中船的位移?x. 此题不知道如何入手
4-12． 以初速度v0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M； （2）质点的角动量。
????解：（1）M?r?F??mgv0cos?tk
???t?mgv0?2cos?tk （2）L?r?mv??0Mdt??2
4—13． 人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：
（1）卫星在近地点及远地点处的速率v1和v2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）； （2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。 解：利用角动量守恒：L?r1mv1
?r2mv2 ?2v1?4v2
3
同时利用卫星的机械能守恒，所以：
1Mm1Mm2mv12?G0?mv2?G0 22R24R
Mm?mg R22RgRg所以： v1? v2?
368Mmv2（2）G02?m 可得到：??R
3??G0
思考题
4-1. 一?粒子初时沿x轴负向以速度v运动，后被位于坐标原点的金核所散射，使其沿与x轴成120的方向运动(速庹大小不变)．试用矢量在图上表出?粒子所受到的冲量I的大小和方向。
见图4-25。
4-2. 试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象。
可用动量定理来解释。设风沿与航向成α角的方向从右前方吹来，以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象，Δm表示这块空气的质量，v1和v2分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度，由于帆面比较光滑，风速大小基本不变，
?但是由于Δm的速度方向改变了，所以一定是受到帆的作用力，根据牛顿第三定律，Δm必然对帆有一个反作用力f?，此力的方向偏向船前进的方向，将f?分解为两个分量，垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡，与船的航向平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力。
4-3. 两个有相互作用的质点m1和m2（m2?m1），已知在2不受外力时它们的总动量为零，m1的轨
迹如图，试画出m2质点的运动轨迹。
见图4-26。
4-4. 当质量为m的人造卫星在轨道上运动时，常常列出下
列三个方程：
12Gmem12Gmem mv2??mv1?2r22r1mv2sin?2?mv1sin?1
mv2Gmem? rr2试分析上述三个方程各在什么条件下成立。
4-5. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力）哪些量守恒？
对于这个系统，能量守恒，因为没有外力做功；
4-6. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮的绳子两端，当他们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速度是乙的两倍，则到达顶点情况是： （A）甲先到达；（B）乙先到达；（C）同时到达；（D）谁先到达不能确定。 答:本题测试的是刚体系统的角动量定理和角动量守恒的概念.
当两小孩质量相等时,M=0.则系统角动量守恒,两人的实际的速度相同,将同时到达滑轮处,与谁在用力,谁不在用力无关.
选择C。
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